❖ ∵ CC1 • BD = c (a – b)= c·a –c·b
❖
= |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0
❖ ∴C C1⊥BD
❖ (2)直线与平面的位置关系
❖ 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,
且L α.
❖ ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α
❖ ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α.
a
a
b
b
❖ 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求 证: C C1⊥BD
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
❖ 证明：设 CD a, CB b, CC1 c, ❖ 依题意有| a |=| b |，
❖ 于是 BD CD CB a – b
数学专题二
空间向量法解决立体几何问题
1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;
2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
利用空间向量解决立体几何问题，是利 用平面向量解决平面几何问题的发展。主 要变化是维数增加了，讨论的对象由二维 图形变为三维图形。
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0 ，解得
y0
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
二.立体几何问题的类型及解法
❖ 1.判定直线、平面间的位置关系 ❖ (1)直线与直线的位置关系 ❖ 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.
①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
(1)u (2, 2,5), v (6,4, 4) (2)u (1, 2, 2), v (2, 4, 4)
(3)u (2, 3,5), v (3,1, 4)
定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
已知：直线 l, m 和平面 , ，其中 l, m ， l与m 相交， l // ，m //
为了用空间向量解决立体几何问题，首 先必须把点、直线、平面的位置用向量表示 出来。
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由 A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
设直线 l, m 的方向向量为分别为 a, b ，平面,
的法向量分别为 u, v
1. l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
2. l m a b a b 0
l a // u a u uv u v0
zB
A y
x
❖如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平 面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n 叫做平面α的法向量.
n
α
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、如何确定一条直线在空间的位置？ 3、如何确定一个平面在空间的位置？
l
P
O
l
a
P
B A
P
a
b Oa
A
因为方向向量与法向量可以确 定直线和平面向量，所以我们可以 利用直线的方向向量和平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等位置关系。
❖ 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
❖ 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z
A1
D1
C1 B1
AA O
xB
y
D C
❖ 2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
y
0
取z =1
B1 1
AA
xB
C1 1
y
OD C
得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设 平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2） 由 OA1 =（-1，-1，2），OD1 =（-1，1，2）
令 x 1 ， 则 y z 1
所以，平面ABC的一个法向量为 n (1,1,1)
❖ 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
❖ 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程
组
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2z
0 0
❖ 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设
平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则
O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）
由 OA1 =（-1，-1，2），OD1 =（-1，1，2）A z
D
x y 2z 0
x 2z
得 x y 2z 0 ，解得
1、设 a, b 分别是直线 l1, l2 的方向向量，根据下列条 件判断直线 l1, l2 的位置关系。
(1)a (2, 1, 2), b (6, 3, 6) (2)a (1, 2, 2), b (2,3, 2) (3)a (0,0,1), b (0,0, 3)
2、设 u, v 分别是平面, 的法向量，根据下列条件 判断平面, 的位置关系。
求证： //
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C （1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
解：设平面ABC的一个法向量 n (x, y, z) ，
依题意得：AB (1, 21, 0), BC (1, 0, 1)
n AB, n BC
ห้องสมุดไป่ตู้
n
AB
x
y
0
n BC x z 0
n
a
Ln
a
α
α
L
❖ 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,
❖ D,E分别是AC,CC1的中点,求证:
❖ (I)A1E ⊥平面DBC1;
❖ (II)AB1 ∥ 平面DBC1
A1
z
C1
A E
D C x
B1
B y
❖ 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则
❖ A(-1,0,0), B(0, 3,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2),