专题五平面解析几何专题五平面解析几何第14讲直线与圆[云览高考]二轮复习建议命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题．预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上．主干知识整合1.直线的概念与方程(1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)；(2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)；(3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；(4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程(1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)；(2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法；(3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法.要点热点探究► 探究点一 直线的概念、方程与位置关系例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1(2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件► 探究点二 圆的方程及圆的性质问题例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能[点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和变式题 圆心在曲线y ＝3x (x >0)程为( A )A ．(x －2)2＋«Skip Record If...»＝9B ．C ．(x －1)2＋(y －3)2＝«Skip Record If...»► 探究点三 直线与圆的综合应用 例3 [2012·天津卷] 设m ，n ∈R ，若直线2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)[点评] 本题根据m ＋n ＋1＝mn 可直接令t ＝m ＋n 代入消去n 得关于m 的一元二次方程，m 为实数，这个方程的判别式大于或者等于零，得关于t 的不等式，解不等式可得m ＋n 的取值范围．变式题 直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最大值为( A )A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1 规律技巧提炼•规律 1.确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线过一个点；2．求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出来才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径．•技巧 直线被圆所截得的弦长的解决方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，那么直线被圆所截得的弦长l ＝2r 2－d 2，这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的，二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．•易错 忽视直线方程的适用范围，点斜式和斜截式不包括与x 轴垂直的直线，两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的直线.命题立意追溯推理论证能力——结合圆的几何特征处理圆的问题示例 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( C )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 [跟踪练]1．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( C )A ．2B ．3C ．4D ．62．设M (1,2)是一个定点，过M 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，设原点到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值是________.10教师备用例题选题理由：据本讲的特点，我们在正文中没有选用解答题，下面的例题是直线与圆的一个综合，可作本讲总结使用．例 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，⊙M 是以PF 2为直径的圆．(1)当⊙M 的面积为π8时，求PA 所在直线的方程；PA 所在直线方程为y ＝«Skip RecordIf...»x －1或y ＝«Skip Record If...»x －1.(2)当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；⊙M的方程为«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝1 2或«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝169162.(3)求证：⊙M总与某个定圆相切．第15讲圆锥曲线的定义、方程与性质[云览高考]二轮复习建议命题角度：该部分的命题主要围绕两个点展开．第一个点是围绕圆锥曲线与方程本身的知识展开，命题考查求圆锥曲线的方程、求椭圆或者双曲线的离心率以及简单的直线与圆锥曲线交汇的试题，目的是有针对性地考查对圆锥曲线基础知识和基本方法的掌握程度，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕圆锥曲线与方程的综合展开，命题以圆锥曲线为基本载体，综合直线、圆等知识的综合性试题，目的是全面考查对解析几何的知识和方法的掌握程度，考查综合运用解析几何的知识和方法分析问题、解决问题的能力，这类试题一般是解答题，而且往往是试卷的压轴题之一，具有一定的难度．预计2013年对该部分考查的基本方向不会有大的转折，会在选择题或者填空题中考查圆锥曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，在解答题中综合考查圆锥曲线与方程．复习建议：高考试题中解析几何的解答题一般具有一定的难度，学生也畏惧解答解析几何试题，但解析几何试题的特点是思路清晰，运算困难，因此在复习该讲(以及下一讲)时，要在学生掌握好基础知识和基本方法的前提下，注重运算技巧的点拨、注重运算能力的培养．主干知识整合1.椭圆画出椭圆的图象，标出F 1，F 2，a ，b ，c ，回顾椭圆的定义，两种形式的标准方程，a ，b ，c 的关系．椭圆的简单几何性质：顶点坐标，焦点坐标，a ，b ，c 的范围，离心率的范围，图象的对称性．2．双曲线画出双曲线的图象，标出F 1，F 2，a ，b ，c ，回顾双曲线的定义，两种形式的标准方程，a ，b ，c 的关系．双曲线的简单几何性质，顶点坐标，焦点坐标，a ，b ，c 的范围，图象的对称性，离心率的范围，渐近线方程．3．抛物线画出抛物线的图象，标出F ，回顾抛物线的定义，四种形式的标准方程，焦参数p 的几何意义．抛物线的简单几何性质：顶点坐标，焦点坐标，离心率的值，准线的方程. 要点热点探究探究点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 [2012·湖南卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 [点评] 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注意在椭圆中c 2＝a 2－b 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，看下面变式．变式题变式题 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．3B ．23C ．3 2D ．2 6(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3 [答案] (1)A (2)B► 探究点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)[2012·课程标准卷] 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( C )A.12B.23C.34D.45(2)[2012·浙江卷] 如图5－15－1所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点(B )图5－15－1A.233B.62C. 2D. 3[点评] 求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于a ，b ，c 的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a ，b ，c 的关系，求出所求的椭圆、双曲线中a ，c 之间的比例关系，根据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，则需要建立关于a ，c 的不等式(下面的变式(1))．变式题 (1)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5](2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则其渐近线方程为________．[答案] (1)B (2)y ＝±3x► 探究点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3 [2012·安徽卷] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( C )A.22B. 2C.322D ．2 2 [点评] 简单的直线与圆锥曲线位置关系的问题可以通过求解交点坐标等方式解决，而不必过度依赖一般方法．在抛物线中过焦点的直线是一个特殊情况，它具有许多性质，其中最基本的是焦点弦的两个端点横坐标之积、纵坐标之积都为定值．变式题 过抛物线y 2＝2px 焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 为(D )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．不确定D ．钝角三角形例4 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (2,4)作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点．(1)求椭圆T 的方程；x24＋y 2＝1(2)已知直线l 与椭圆T 相交于P ，Q 两不同点，直线l 方程为y ＝kx ＋3(k >0)，O 为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值．且仅当k ＝52时取等号，则△OPQ 面积的最大值为1.[点评] 本题是解析几何解答题的基本设计模式，即先求圆锥曲线的方程，再研究直线与圆锥曲线相交产生的问题．本题求解弦长使用的是“设而不求、整体代入”的方法，这是解析几何解决直线与圆锥曲线相交的一般方法，要注意体会(下讲中我们继续研究这个方法)．本题最后求最值时，如果进行简单的换元，则更容易解决问题，即令t ＝2k 2－1>0，此时2k 2－1(1＋4k 2)2＝t (3＋2t )2＝t 4t 2＋12t ＋9＝14t ＋9t ＋12.规律技巧提炼•规律 双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F«Skip Record If...»的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .•技巧 1.椭圆和双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的不等式，从这个不等式确定a ，c 的关系．建立关于a ，b ，c 的不等式要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用根与系数的关系进行整体代入．•易错 混淆椭圆与双曲线中a ，b ，c 的关系；直线与圆锥曲线相交时忽视消元后的一元二次方程的判别式大于零. 命题立意追溯推理论证能力——探求圆锥曲线轨迹的基本思路与方法示例 已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．命题阐释] 本题命题立意是通过对已知条件的分析，通过逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程，考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用，其特点是解轨迹方程不以计算为主，而以推理为主．解：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0,2)，由题意得CC 1＝CC 2，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，故圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，方程为y ＝－1，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .[跟踪练]设双曲线C 1的渐近线为y ＝±3x ，焦点在x 轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C 3：x 2＝2py (p >0是常数)的焦点F 在曲线C 2上．(1)求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程；(2)过点F 的直线l 交曲线C 3于点A ，B (A 在y 轴左侧)，若AF →＝13FB →，求直线l 的倾斜角．解：(1)双曲线C 1满足：⎩⎪⎨⎪⎧b 1a 1＝3，2a 1＝1.解得⎩⎨⎧a 1＝12，b 1＝32.则c 1＝a 21＋b 21＝1，于是曲线C 1的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，曲线C 2是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)，解⎩⎨⎧ 2a 2＝22，a 22－b 22＝1得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1.即C 2：x 22＋y 2＝1，依题意，曲线C 3：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，于是p2＝1，所以p ＝2，曲线C 3：x 2＝4y .(2)由条件可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由AF →＝13FB →得－3x 1＝x 2，代入x 1＋x 2＝4k ，得x 1＝－2k ，x 2＝6k ，代入x 1x 2＝－4得k 2＝13，由于点A 在y 轴左侧，所以x 1＝－2k <0，即k >0，所以k ＝33，直线l 的倾斜角为π6.教师备用例题选题理由：例1为解析几何的应用，是近年来少有的情况，值得适当注意；例2为抛物线中三角形面积计算问题，可与例3交互使用；例3是一道直线与圆锥曲线相交后的一个分点问题，可在探究点二或三中使用．例1 [2012·陕西卷] 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1____________米．例2 [2012·北京卷] y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．3例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( C )A. 2B. 3 C ．2 D. 5第16讲 圆锥曲线热点问题[云览高考]二轮复习建议命题角度：该部分的命题可以从不同的点展开，具有很大的灵活性，大致说来有如下两个大点．第一个大点是围绕曲线方程展开，设计求圆锥曲线的方程或者一般的曲线方程的问题，目的是考查对曲线方程求法的掌握程度和对圆锥曲线与方程的掌握程度，这类试题一般是选择题或者填空题、解答题的第一个设问(绝大多数解析几何解答题第一问都是该类问题)，试题难度不大；第二个大点是围绕圆锥曲线方程、直线、圆的综合展开，设计求直线被圆锥曲线截得的线段长度、范围、最值，求直线与圆锥曲线的交点与其他点组成的三角形的面积、面积的范围、面积的最值，与圆锥曲线上的点相关的直线系恒过定点等问题，这类试题都是解答题，而且是解答题中的第二问、第三问，目的是考查考生综合运用解析几何知识分析问题、解决问题的能力，具有一定的难度．查圆锥曲线与方程的求法，一个部分是综合性的考查，考查方向也会具有较大的灵活性和不确定性．复习建议：本书设计本讲的目的虽然是为了综合提高学生解决解析几何试题的能力，但由于解析几何试题的特点，很多学生对解析几何解答题的第二问、第三问都无法完成，因此本讲重在基础，重在圆锥曲线与方程的求法，力图使学生能够顺利解答解析几何解答题的第一个设问，在此基础上兼顾了一些热点问题的解法研究，力图给学生一个解决这类问题的基本思想方法．在复习该讲时要以基础为主、思想方法为主．主干知识整合1.曲线的方程的求法直接法把动点坐标直接代入已知几何条件的方法定义法已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法(待定系数法)代入法动点P(x，y)随动点Q(x0，y0)运动，Q在曲线C：f(x，y)＝0上，以x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程得到动点轨迹方程的方法参数法把动点坐标(x，y)用参数t进行表达的方法．此时x＝φ(t)，y＝ψ(t)，消掉t即得动点轨迹方程交轨法轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的，在两动直线(或曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法要点热点探究► 探究点一 与圆锥曲线有关的轨迹问题例1 已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切．(1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.[规范评析] 本题从求曲线方程开始逐步考查解析几何的重要知识和方法．第一问中的轨迹方程可看作是定义法或者待定系数法，即只要求出圆的方程中的系数即可；第二问中方法是代入法(相关动点法)求轨迹方程，这都是求轨迹方程的基本方法．(求轨迹方程的直接法见下面的例2及其变式)► 探究点二 与圆锥曲线有关的定点、定值问题例2 [2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．(2)证明：当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.(5分) 于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0. ①(6分) 设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04. ②(7分) 由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x ，得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0. ③(8分) 设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1·y 2＝20(y 0＋4k 1)k 1. ④(9分) 同理可得 y 3·y 4＝20(y 0＋4k 2)k 2. ⑤(10分) 于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝400(y0＋4k1)(y0＋4k2)k1k2＝400[y20＋4(k1＋k2)y0＋16k1k2]k1k2＝400[y20－y20＋16k1k2]k1k2＝6 400.(11分)所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值 6 400.(12分)[规范评析] 本题第一问是求轨迹方程，既可以使用直接法、也可以通过平移直线x＝－2把问题归结为抛物线的定义求解．第二问的定值问题体现的最根本的特点是“设而不求、整体代入”的方法在解析几何中的应用，其中A，B，C，D四点的纵坐标、两条切线的斜率都不是直接求出，而是把它们放在一个一元二次方程中从整体上使用四个点的纵坐标和两条切线的斜率，这个题目颇有新意，值得认真体会．定值问题就是证明在运动变化中某些量不变，也就是与参数无关，定点问题的思路与其类似，看下面变式．变式题在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(2，0)，B(－2，0)，直线PA与PB的斜率之积为－1 2.(1)求动点P轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N 关于x轴的对称点为Q(M，Q不重合)，求证：直线MQ过定点．探究点三参数的范围问题与最值问题例3 [2012·浙江卷] 如图5－16－1，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点．．．．O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．所求直线l方程为3x＋2y＋27－2＝0.(12分)图5－16－1[规范评析] 本题的入手很容易，但第二问中的最值问题就显得很困难，其一是必需确定直线方程中的斜率和截距之间的关系，其二是建立起面积函数后求解其在什么情况下达到最大值，其中使用了导数的方法．解析几何中的最值问题基本思路是建立求解目标关于某个变量的函数，通过求解函数最值解决问题．参数范围的思路与此类似，即建立求解目标关于某个变量的函数，通过函数值域求解其范围．规律技巧提炼•规律定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值；解决圆锥曲线中的最值、范围问题基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围．•技巧定点、定值问题的基本技巧是引进变动的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量；解决参数范围、最值问题时，在建立目标函数或不等关系时选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．•易错 忽视特殊情况，如使用直线的点斜式方程而忽视了斜率不存在的情况；在直线与圆锥曲线相交的问题中忽视消元后的一元二次方程的判别式大于零.命题立意追溯抽象概括能力——圆锥曲线问题中的等价转化方法示例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为53，定点M (2,0)，椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．存在定点P«Skip Record If...»，使PM 平分∠APB .[命题阐释] 本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化归转化的思想意识．题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制，解题中需要把已知的几何条件逐步转化为代数条件，充分体现了等价转化思想的应用．[跟踪练]椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，若不存在，说明理由．教师备用例题选题理由：下面的例题是一道典型的定点问题的试题，从这个题目可以看出解决定点问题的基本思路，可以在探究点二中使用．例 [2012·福建卷] 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。