CuT Ci= I
式中 I为单位矩阵。 这里对Cu和Ci的选择并没有加任何约束，它们可以是任意的。
（3-35）

在一般情况下，为了使变换阵简单易记，令 Cu = Ci = C 即把电压和电流变换阵取为同一矩阵，则式（3-35）变成 CT C = I 或 CT = C-1 （3-36） 式（3-36）就是坐标变换满足功率不变的约束条件，且取 电压和电流变换阵相同时对变换矩阵的要求，这样的坐标 变换属于正交变换。
三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量

B

N2iβ
60o 60o
N3iB
N2i N3iA

N3iC
C

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相
总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、 轴上的投
影都应相等，
1 1 N 2iα N 3iA N 3iB cos 60 N 3iC cos 60 N 3 (iA iB iC ) 2 2 3 N 2iβ N 3iB sin 60 N 3iC sin 60 N 3 (iB iC ) 2
0 i α 1 iβ 2
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，
同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）

从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模 型的图 b 和图 c 中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系 d、q 变换称作两相—两相旋转变换，简称 2s/2r 变换 其 中 s 表示静止，r 表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得下图。

令 C3s/2s 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵， 则
C3 s / 2 s
1 1 2 2 3 3 0 2
1 2 3 2
（3-38）

如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有 iA+iB+iC=0，

直流电动机调速性能优异且便于控制是因为其具备以下几个条件：
（1）直流电动机的主磁场由直流励磁电流产生，补偿绕组基本上克 服了电枢反应，所以一般认为其主磁场是一个稳定的直流磁场。
（2）当电刷位于几何中性线上时，电枢磁场与主磁场在空间是垂直 的（互差90电角度），是自然解耦的。
和 T，其中分别通以直流电流 im 和it，产生合成磁动
势 F ，其位置相对于绕组来说是固定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速 旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁 动势。

把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组 也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察 者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，M 和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。 如果控制磁通的位置在 M 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组M相 当于励磁绕组，T 相当于伪静止的电枢绕组。
2s/2r变换公式

由图可见， i、 i 和 id、iq 之间存在下列关系
iα id cos iq sin
iβ id sin iq cos
两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵

写成矩阵形式，得
iα cos i β sin sin id id i C2r / 2s i cos q q

设在某坐标系下的电路或系统的电压和电流向量分别为u和 i，在新的坐标系下，电压和电流向量变成u′和i′，定义新 向量与原向量的坐标变换关系为 Cu u = u′ Ci i = i′ 其中Cu和Ci分别为电压和电流变换阵。 （3-33） （3-34）
当满足功率不变的约束条件时，Cu和Ci的关系为
旋转磁动势的产生

然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外， 二相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多 相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。 不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的 磁动势完全一致。

（3）励磁电流和电枢电流互相独立，各自在不同的回路中，控制简 单，易于实现。 （4）直流电动机的动态数学模型只有一个输入/输出变量——电枢电 压/转速，在工程允许的一些假定条件下，直流电动机可以描述成单 输入单输出的二阶线性系统。

异步电动机和直流电动机相比有着本质上的区别： （1）三相异步电动机的定子通以三相平衡正弦交流电流，产生一个 随时间和空间都在变化的旋转磁场。
电流表示，例如 Fs 可以直接标成 is 。但必须注意，这 里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。

M，T 轴和矢量 Fs（is）都以转速1旋转，分量 id、 iq 的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。 但 、 轴是静止的， 轴与 d轴的夹角 随时 间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长短也随时 间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。
（2）转子电流也产生旋转磁场，它和定子旋转磁场相位不同，但稳 态时都是同步旋转的，在空间上不存在垂直关系。
（3）三相异步电动机（鼠笼式）的转子是短路的，只能调节定子电 流。 （4）异步电动机的数学模型至少是一个七阶的模型，其输入量为电 压（电流）和频率，输出量为磁链和转速，是一个多变量系统。在 静止的A、B、C坐标系中，异步电动机的数学模型为时变方程组。
N3 2 N2 3

代入式（3-37），得
i α i β
1 1 2 2 3 3 0 2
1 i A 2 i B 3 iC 2
（3-37-1)
三相—两相坐标系的变换矩阵


q
is iβ iq
φ
ω1
iq cos
d
θ1
φ
id cos
id iα
i d sin

it sin

图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。由于
各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用
当两个旋转磁动势大小 和转速都相等时，即认为图b 的两相绕组与图a的三相绕组 等效。

ω1 i

F
i

图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型

T
T
1
it
M
F M im
图c 旋转的直流绕组

再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组 M
第三章 高动态性能变频调速系统
山东大学
本章提要

问题的提出 三相异步电动机的动态的变频调速系统
直接转矩控制变频调速系统
无速度传感器变频调速系统
3.2 坐标变换和动态数学模型的简化

上节中虽已推导出异步电机的动态数学模 型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然 是十分困难的。在实际应用中必须设法予以简 化，简化的基本方法是坐标变换。

下图中绘出了 A、B、C 和 、 两个坐标系，为
方便起见，取 A 轴和 轴重合。设三相绕组每相有
效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动 势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关
相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化
着，图中磁动势矢量的长度是随意的。
将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式， 分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路 进行的。 根据电机学原理，异步电动机三相绕组的作用，完全可以 用在空间上互相垂直的两个静止的、绕组来代替，如 图3-6所示。由三相ABC轴系变换到两相轴系以产生同 样的旋转磁势为准则，并需要满足功率不变的约束条件。
等效的概念

由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图a 的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图c中整体旋转 的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的 iA、 iB 、iC，在两相坐标系下的 i、i 和在旋转两相坐标系 下的直流 im、it 是等效的，它们能产生相同的旋转磁动 势。

β B uB iβ uβ
iB
600 600
iA
uA
iα uα
α A
uC
iC
C 图3-6 定子ABC轴系到静止轴系的变换
（2）等效的两相交流电机绕组

两相静止绕组 和 ， 它们在空间互差90°，通以 时间上互差90°的两相平衡 交流电流，也产生旋转磁动 势F。

由以上分析可以推想： 如果能够简化异步电动机的动态数学模型，从 而像直流电动机那样分别独立控制励磁电流和 转矩电流，并使它们的磁场在空间位置上也互 差90电角度，就可以获得像直流电动机那样优 异的调速性能 。
坐标变换
二、坐标变换

坐标变换：从一种坐标轴系转换到另一种坐标轴系的变换 交流电机的物理模型 矢量控制相关的三种坐标系：静止的三相ABC坐标系、静 止的二相、坐标系和旋转的二相d、q坐标系；
或 iC= iA iB 。代入式（3-38）并整理后得
3 i α 2 i 1 β 2
0 i A iB 2

2 iA 3 i 1 B 6
（一）坐标变换的原则 由机电能量转换的基本原理可知，电动机内气隙磁场是进 行能量转换的媒介，由定子侧输入的能量正是通过气隙磁 场传递到转子的。
在进行坐标变换时，只要能使变换前后产生的气隙基波合 成磁势不变（幅值和空间相位相同），两者就是等效的。 因此，磁势不变是不同坐标系间进行变换的一项基本原则。
现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与 i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。