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1.电气系统
● 由电阻、电感、电容、运算放大器等元 件组成的电路，又称电气网络。
● 无源器件：本身不含有电源的器件。 电阻、电感、电容
● 有源器件：本身含有电源的器件。 运算放大器
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● 无源网络：仅由无源器件组成的电气 网络。
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2 机械系统 ● 机械系统：存在机械运动的装置，它们
遵循物理学的力学定律。
机械运动
直线运动 转动
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● 做直线运动的物体遵循的基本力学定律
是牛顿第二定律：
d2x
F m dt2
(2－1－5)
其中，F为物体所受到的力, m为物体质量, x 是线位移, t 是时间。
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建立控制系统的数学模型是对系统进行分 析的第一步也是最重要的一步。
常用的数学模型：微分方程，传递函数， 结构图，信号流图，频率特性以及状态空 间描述等。
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数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型
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[动态关系或动态特性]：
系统中的变量对时间的变化率不可忽略，这 时各变量之间的关系称为动态关系或动态特 性。系统称为动态系统，相应的数学模型称 为动态模型。
对于动态系统，为了确定输出量和其它变 量，仅仅知道输入量是不够的，还必须知 道一组变量的初始值。
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控制理论研究的是动态系统。动态系统的 数学基础是微分方程，又称为动态方程或 运动方程。
对于一个微分方程，若已知初值和输
入值，对微分方程求解，就可以得出输出
量的时域表达式。据此可对系统进行分析。
建立数学模型的方法
分析法 实验法
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[分析法]：根据系统中各元件所遵循的物 理、化学、生物等各种科学规律和运行 机理，列出微分方程式。又称理论建模。
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● 考虑摩擦力的作用：
Fc
FB Ff
f
dx dt
Ff
(2-1-6)
其中，x 为位移, f 为黏性阻尼系数，
FB
f
dx dt
为黏性摩擦力，与运动
速度成正比,
Ff 表示恒值摩擦力，又库仑摩擦力。
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● 转动的物体遵循牛顿转动定律：
模型验证—将实际输出与模型的计算输 出进行比较，系统模型需保证两个输出 之间在选定意义上的接近
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数学模型建立后，研究系统主要指研究系 统所对应的数学模型，以数学模型为基础， 分析并综合系统的各项性能，而不再涉及 实际系统的物理性质和具体特点。
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建模：了解元件及系统的动态特性，准确建立 它们的数学模型。
物理模型：任何元件或系统都是很复杂的，难 以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化。 简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模 型。简化是有条件的，要据问题的性质和求解 的精确要求，来确定出合理的物理模型。
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● 消去中间变量，整理出只含有输入量 和输出量及其各阶导数的方程 ；
பைடு நூலகம்
● 标准化，将方程整理成标准形式，即 将与输出有关的项列在等号左边，而将与 输入有关的项列在等号右边，且各阶导 数项按阶次由高到低的顺序排列。可将 各项系数归化成具有一定物理意义的形 式。
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2.1 控制系统微分方程的建立
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微分方程的阶数一般是指方程中最高 导数项的阶数，又称为系统的阶数。
a0cnt a1cn1 t a2cn2 t an1ct anct b0rnt b1rn1t b2r n2 t bn1rt bnrt
（2－1－1）
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采用解析法建立系统微分方程的一般步骤：
● 根据研究问题的需要，确定系统的输入 量和输出量;
● 根据系统、输入和输出三者之间动态关系 的原理或定律，列写系统的微分方程， 可 增设中间变量，对实际系统进行适当简化；
例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中 的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
第二章 系统的数学模型
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本章的主要内容
控制系统微分方程建立 传递函数 控制系统的框图和传递函数 控制系统的信号流图
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概述
[数学模型]：描述系统中各变量（物理量）之 间关系的数学形式和方法。叫做系统或元件的 数学模型 。
[实验法]：人为地给系统施加某种测试信 号，记录其输出响应，并用适当的数学 模型去逼进。
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实验法－基于系统辨识的建模方法
输入（已知） 黑匣子
输出（已知）
已知知识和辨识目的
实验设计--选择实验条件
模型阶次--适合于应用的适当的阶次
参数估计--最小二乘法
● 有源网络：包含有源器件或电源的电 气网络。
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● 基尔霍夫电流定律和电压定律
i 0 u 0
(2－1－ 2(2)－1－3)
● 理想电阻、电感、电容两端电压、电 流与元件参数的关系：
u Ri,
u L di , dt
u
1 c
idt
(2－1－4)
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M
J
d 2
dt 2
(2－1－7)
其中，M为物体所受到的力矩, J为物体的
转动惯量, 为角位移。
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● 对于转动的物体，摩擦力的作用体现
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系统中变量的关系
静态关系 动态关系
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[静态关系或静态特性]：
系统中各变量随时间变化缓慢，以至于它 们对时间的变化率（导数）可忽略不计时， 这些变量之间的关系称为静态关系。称系 统处于静态。
表示静态关系的数学表达式中没有变量对 时间的导数项。处于静态的系统，知道了 系统的输入量即可确定系统的输出量及其 它变量。