页脚内容1第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。

例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=所以)(11212C x e C C e C y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C e C y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。

例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x页脚内容2解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。

⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(xyg dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。

②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。

③、形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211=b a b a ，转化为)(by ax G dxdy+=，下同①； 02、02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u页脚内容3得到，)()()(22112211u v g uv b a u vb a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(xy v xy f dx dy x ==),(222),(xy w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++以上都可以化为变量可分离方程。

例2.1、25--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有dx udu 7-= 所以)(722为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(7222为常数）（C Cx y x =+--。

例2.2、1212+-+-=y x y x dx dy 解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ，令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到uvu vv u v u du dv 21222--=--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2)1ln(ln 2为常数C Ct t u ++--=，所以有页脚内容4)(1121C e C tt C u ±=+-=，，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dxdyx a =+（ 标准形式：)()(x Q y x P dxdy=+ 解法：1、直接带公式：))(()()()()()()(⎰⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：])()([)(1)(⎰+=C dx x Q x x x y μμ，⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：)()(x Q y x P dxdy=+，00)(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰⎰=--x x dss P dss P x x dss P dss P dt e t Q ey y dt e t Q ey tx tx xx xx 000)()(00)()()())((例3、1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解：化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx x ndx x P x e ex -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ页脚内容5所以，)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- (4)、恰当方程：形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=∃=+ 解法：先判断是否是恰当方程：如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例4、0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解：由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+=由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ，得到页脚内容6)(,34223为常数C C y y x x =++(5)、积分因子法：方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+∃=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一。

①当且仅当)(x N xNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dx x e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。

②当且仅当)(y M xNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dy y e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。

例5.1、02)3(2=++xydy dx y e x解：由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y x N y M 426=-=∂∂-∂∂，且有xx N xNy M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x ey x dxx =⎰=μ，原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x ，得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例5.2、0)(3=+-dy y x ydx页脚内容7解:由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ，原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+y y x d dy y y x y dx ，得到原方程的解为： )(,22为常数C C y y x =- (6)、贝努力方程： 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+, 解法：令n y u -=1，有dy y n du n --=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，下同（3） 例6、26xy xydx dy -= 解：令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C xC x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C xC x y +=. (7)、一阶隐式微分方程：一般形式：0),,(='y y x F ，解不出y '的称为一阶隐式微分方程。

页脚内容8下面介绍四种类型：),()1(y x f y '= ),()2(y y f x '= 0),()3(='y x F 0),()4(='y y F①、形如),(dxdy x f y =， 一般解法：令dxdyp =，代入得到),(p x f y =，两边对x 求导得到dx dp p f x f p ∂∂+∂∂=，这是关于x ，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为为常数C C x p ),,(ϕ=，那么原方程的通解为为常数C C x x f y )),,(,(ϕ=2、得出解为为常数C C p x ),,(φ=，那么原方程的通解为为常数C p C p f y C p x ,)),,((),(⎩⎨⎧==φφ 3、得出解为为常数C C p x ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为为常数C p x f y C p x ,),(0),,(⎩⎨⎧==Φ ②、形如),(dxdy y f x = 一般解法：令dxdyp =，代入有),(p y f x =，两边对y 求导，得到dy dp p f y f p ∂∂+∂∂=1，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数C C p y ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为页脚内容9为常数C p y f x C p y ,),(0),,(⎩⎨⎧==Φ ③、形如0),(='y x F一般解法：设)(,)()(为参数t t y t x ⎩⎨⎧='=φϕ，dt t t dx y dy )()(ϕφ'='=，两边积分得到⎰+'=为常数C C dt t t y ,)()(ϕφ，于是有原方程的通解为为常数C t x Cdt t t y ,)()()(⎩⎨⎧=+'=⎰ϕϕφ ④、形如0),(='y y F一般解法：设)(,)()(为参数t t y t y ⎩⎨⎧='=φϕ，由关系式dx y dy '=得dx t dt t )()(φϕ='，有dt t t dx )()(φϕ'=，两边积分得到⎰+'=为常数，C C dt t t x )()(φϕ，于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'=⎰为常数，C t y C dt t t x )()()(ϕφϕ 例7.1 y y x '+='13解：令y p '=，得到31p p x +=，两边对y 求导，得到dydpp p p p ))1(31(143+-=，有dp p p dy )32(32--=，得到为常数C C p p y ,2322++=，于是通解为页脚内容10为常数，C C p p y p p x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=232321 例7.2 y e y y ''=2解：令y p '=，得到pe p y 2=，两边对x 求导，得到dxdpe p p p p)2(2+=，有 dp e p dx p )2(+=，两边积分得到为常数C C e p x p ,)1(++=，于是通解为为常数C e p y Ce p x pp ,)1(2⎩⎨⎧=++= 例7.3 122='+y x解：设,sin cos ⎩⎨⎧='=t y t x 有dt t dt t t dx y dy 212cos )sin (sin -=-⋅='=，所以 为常数C C tt y ,242sin +-=于是通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=为常数C t x Ct t y ,cos 242sin 例7.4 1)1(22='-y y解：设,cos 1sin ⎪⎩⎪⎨⎧=='t y t y 有)tan (cos sin 1cos sin 22t d t dt dt t t t y dy dx -=-=-='=，所以 为常数C C t x ,tan +-=页脚内容11于是通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=为常数C t y C t x ,cos 1tan (8)、里卡蒂方程： 一般形式：)()()(2x R y x Q y x P dxdy ++= 一般解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dx dz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到 )()1)(()1)((102020x R zy x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到 0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz ，为一阶线性微分方程，解出 为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+= 例8 0)2(22=-+'xy y x 解：我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程。