1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即

l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o

沿 l 环线正向走 环域在左侧
f ( z ) d z
l
ud x vd y i( x ud y ) vd
l l
u u v v 因 f (z)在 B 上解析，因而 , , , x y x y 在 B 上连续。
f ( z ) d z f ( z ) d z
l

l
4. 全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+……+ln
l l 1 l 2 l n
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z ...... f ( z ) d z
l l
2.函数和的积分等于各函数积分的和
d f( z ) f( z ) ...... f( z ) z f ( z ) d z f ( z ) d z ....... f ( z ) d z
l 1 2 n l 1 l 2 l n
3.反转积分路径，积分值变号
After graduation Green stayed on at Cambridge, writing on Optics, Acoustics and Hydrodynamics. However, in 1840 he became ill and returned to Nottingham where he died the 10 following year.
第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分
复平面上的路积分 定义: 复平面分段光滑曲线l 上的连续函数 f (z)，作和
y
zn
zk-1 •
k • l
zk • •
• B
f ( )(z z
k 1 k k
n
k 1
)
A•
o
z0
• z1
x
若
n k 1 m ax | z | 0 k
)
分量形式：f (z) = u(x,y)+ i v(x,y), z = x + i y
f (z) dz=( u+ i v) d (x + i y)
l l l
f ( z ) d z u d x v d y i ( u d y v d x )
参数形式：曲线l 的参数方程 {x = x (t), y = y (t)}, 起始点 A tA, 结束点 B tB
5. 积分不等式1：
z ) d z z )d z f( f(
l l
6.积分不等式2：
f (z) dz ML
l
其中 M 是 | f (z) | 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。
例：计算积分 解：
l1 l1
I Re z d z , I Re z d z , 1 2
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
对实部虚部分别应用格林公式
平面内曲线积 Q P P d x Q d y d x d y分和二重积分 l s y x 之间关系
将回路积分化成面积分
z ) d z u d x v d y i( d x u d y ) f( v

l
f (z)d z 0
George Green
(14 July 1793–31 May 1841) was a British mathematician and physicist , who wrote "An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism". Green's life story is remarkable in that he was almost entirely self-taught, having only had about one year of formal schooling as a child between the ages of 8 and 9. He entered Cambridge University as an Undergraduate in 1833 aged 40 and graduated in 1837.