极坐标与参数方程高考题
1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2
2
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）求12,C C 的极坐标方程.
（II ）若直线3C 的极坐标方程为()π
R 4
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.
（Ⅱ）将=
4
π
θ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得
240
ρ-+=，解得1ρ=，
2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1
1sin 452
⨯=12
.
2.已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）
（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为
|4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=
43
.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小
值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐
标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，,
(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.
解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ
θ=+⎧⎨=⎩ (0≤θ
≤π).
(2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ=
3
π
.故D 的
直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C 的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
解：(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x,y),由22x y +=1得x 2
+2
2y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=1,即曲线C
的方程为4x 2
+2
y =4.故C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθsin 2cos x y (θ为参数).
(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为1
2
（，1）
,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12（x-1
2
）,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=θ
θsin 4cos 23
--.
5.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方
程为ρcos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
解：(1)由ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝23
3，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233
，π2.
(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，33，
则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233
，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6，ρ∈(－∞，＋∞)．
6.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－
π4
)＝
2
2
，
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－
π4)＝2
2
，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎨
⎧
x 2＋y 2
－x －y ＝0，
x －y ＋1＝0
得⎩⎨
⎧
x ＝0，y ＝1.
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π
2
)．
7.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨
⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
⎩⎨
⎧
x ＝4－2t ，y ＝3－t
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2
(x －4)，即x －2y －4＝0.
8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－22
t ，
y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在极坐标
系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.
解：(1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(4分)
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－
22t )2＋(2
2
t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨
⎧
t 1＋t 2＝32，
t 1·t 2＝4.
又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2
＝3 2.
9.在直角坐标版权法xOy 吕，直线l
的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e
的极坐标方程为ρθ=.
(I)写出C e 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.
解：(I)
由ρθ=，
得2sin ρθ=，
从而有22x y +=，
所以(2
2
3x y +-=
(II)
设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
，又C
，则PC == 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).。