(x - x )2 + ( y - y )2 12 1 2 (x - 0)2 + (2x +10 - 0)2 5 5 p ( p - a )( p - b )( p - c )一、以数助形“数形结合”在初中数学中的运用“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系 的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左 右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应 该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的 地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例 1． 已知平面直角坐标系中任意两点 A (x 1小y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之间的距离可以用公式AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离．解：设 P (x 小 2x +10) 是直线 y = 2x +10 上的任意一点，它到原点的距离是OP = =当 x = -4 时， OP 小 小 = 2 ．所以原点到直线 y = 2x +10 的距离为2 ．【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例 2．已知∆ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求∆ABC 的面积（用含 m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有 没 有 特 殊 之 处 ． 代 数 运 算 比 较 过 硬 的 人 可 能 利 用 平 方 差 公 式 就 可 以 心 算 出 来 ：(m 2 + n 2 )2 - (m 2 - n 2 )2 = (2m 2 )(2n 2 ) = (2mn )2 ， 也就是说， ∆ABC 的三边满足勾股定理， 即 ∆ABC 是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为 a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积 S 为：S = ．解：由三边的关系： (m 2 - n 2 )2 + (2mn )2 = (m 2 +n 2 )2 ． 所以∆ABC 是直角三角形．所以∆ABC 的面积= 1⋅ (m 2 - n 2 )(2mn ) = mn (m 2 - n 2 ) ．2【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算5(x + 4)2 + 205 5 c1 在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例 3．直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 相交，两交点的横坐标分别为 x 、 x ，直线 y = bx + c121 1 1与 x 轴的交点的横坐标为 x 3 ．求证： x = + ．x x 3 1 2【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于 a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线 y = bx + c 与 x 轴的交点的横坐标为 x 3 ， ∴ bx 3 + c = 0 ．∴ x 3 = - b．1 = - b ． x 3 c∵直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 两交点的横坐标分别为 x 、 x ，12∴ x 、 x 为关于 x 的一元二次方程 ax 2 - bx - c = 0 的两个不等实根．12b c∴ x 1 + x 2 = a， x 1 x 2 = - a．b∴ + x 1 x 2= x 1 + x 2 =a x 1 x 2 - c a= - b ． c ∴ 1 = 1 + 1 ． x 3 x 1 x 2例 4．将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考， 恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出 来的正方形边长应该是 ．现在我们只需要在图中找出来一段边长为的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数1x 2+ 4 x 2 + 4 (2 - x )2 +1 (x - 0)2 + (0 - 2)2 (x - 2)2 + (0 -1)2 (x - 0)2 + (0 - 2)2 (x - 2)2 + (0 -1)2 32 + 22 13 学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1） 利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式； 将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等． （2） 利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于a +b 对称，换句话说，2数轴上实数a 关于b 的对称点为2b - a ）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与 x 轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与 y 轴的交点（函数在 x = 0 时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例 5．已知正实数 x ，求 y = +的最小值．分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点(x 小 0) 到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解： y = + ，令 P (x 小 0) 、A （0，2）和 B （2，1），则 y = PA + PB ．作 B 点 关 于 x 轴 的 对 称 点 B '(2小 -1) ， 则 y 的 最 小 值 为AB ' = = ．1 1例 6．已知tan = ， t an = 2 ，求证：+ = 45︒ ．3【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角、（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角+也就构成了．证明：如图（2），连接 BC ，易证： ∆ABD ≌ ∆CBE ，从而∆ABC 是等腰直角三角形，于是：(2 - x )2 +1 yA21BO1 P2x-1B'⎩ ⎩+= 45︒ ．图（1）图（2）例 7．求函数 y= x +1 + x - 2 + x - 3 的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为 A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示 P 到 A 、B 、C 三点之间的距离之和，即 y = PA + PB + PC ．A-2-1PBCO x 1234x容易看出：当且仅当点 P 和点 B 重合时， PA + PB + PC y最小，所以 y 小 小 = AB + BC = 4 ．例 8．若关于 x 的方程 x 2 + 2kx + 3k = 0 的两根都在－1 和 3 之间，求 k 的取值范围．【分析】令 f (x ) = x 2 + 2kx + 3k ，其图象与 x 轴的横坐标就是方程 f (x ) = 0 的解．由 y = 都在－1 和 3 之间，只须：f (x ) 的图象可知，要使两根 f (-1) > 0 ， f (3) > 0 ， f (- b) = 2af (-k ) ≤ 0 同 时 成x立，由此即可解得-1 < k ≤ 0 或 k ≥ 3 ．其中， f (-1) 表示 x = -1 时的函数值．解：令 f (x ) = x 2 + 2kx + 3k ，由题意及二次函数的图象可知：⎧ f (-1) > 0 ⎧(-1)2 + 2k (-1) + 3k > 0 ⎪ f (3) > 0 即⎪ 2+ 2k ⋅ 3 + 3k > 0 ⎨ ⎪ f (-k ) ≤ 0 ⎨3 ⎪(-k )2 + 2k (-k ) + 3k ≤ 0 解得： -1 < k ≤ 0 或 k ≥ 3 ．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．-26 54 32 1-2 -1O1 2 3-1例 9．若a > 0 ，且b >a +c ，求证：方程ax2+bx +c = 0 有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明∆=b2- 4ac > 0 ，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时a >0 ，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于 0”．证明：考查函数y =ax2+bx +c ，∵a > 0 ，∴此抛物线开口向上．又∵ b >a +c ，即a -b +c < 0 ，∴当x =-1 时，二次函数的值f (-1) < 0 ．故抛物线与 x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例 10．已知：对于满足0 ≤p ≤ 4 的所有实数p，不等式x2+px > 4x +p - 3 恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式x2+px > 4x +p - 3 可以变形为x2- 4x + 3 >-p(x -1) ．考查二次函数y1=x2- 4x + 3 = (x - 2)2-1和一次函数y =-p(x -1) ．2原不等式的几何意义是“二次函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p取0 ≤p ≤ 4 之内的什么实数，二次函数y1的图象总是在一次函数y2的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取0 ≤p ≤ 4 之内的什么实数，二次函数y1的图象总是在一次函数y2的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数y1的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数y2的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当p = 0 ，y2= 0 时，是与x 轴重合的一条直线；当p = 4 ，y2=-4x + 4 是一条截距为 4 的直线，它与抛物线y1的交点坐标为（－1，8）．当实数q取遍0 ≤p ≤ 4 之内的所有实数时，直线y2所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数y1的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到x <-1或x > 3 ，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是x <-1或x > 3 ．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．(x -x )2 + ( y - y )212 1 2 初三数学 “数形结合”习题（1）1. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 两 点 A (x 1小 y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之 间 的 距 离 可 以 用 公 式AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离．2. 已知∆ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求 ∆ABC的面积（用含 m 、n 的代数式表示）．3. 直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 相交，两交点的横坐标分别为 x 、 x ，直线 y = bx + c 与 x 轴的121 1 1交点的横坐标为 x 3 ．求证： x = + ．x x 3 1 24. 将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．x2+ 45.已知正实数x ，求y =+ 的最小值．6.已知tan= 1，tan =21，求证：+= 45︒．37.求函数y =x +1 +x - 2 +x - 3 的最小值．8.若关于x 的方程x2+ 2kx + 3k = 0 的两根都在－1 和3 之间，求k 的取值范围．9.若a > 0 ，且b >a +c ，求证：方程ax2+bx +c = 0 有两个相异实数根．(2 -x)2+13 初三数学 “数形结合”习题（2）1. 设 k + b = 0 ，则直线 y = kx + b 与抛物线 y = kx 2 + bx 的位置关系是（）．A. 有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2. 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A. 3、3、3B.+1、 -1、 2C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边 20 米处，玩具店位于书店东边 100 米处，小明从书店沿街向东走了 40 米，接着又向东走了－60 米，此时小明的位置在 （）．A. 玩具店B ．文具店C ．文具店西边 40 米D ．玩具店东边－60 米4. 已知实数 a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A.ab < bB.ab > bC.a +b > 0D.a -b > 05. 函数 y = x - 3 + x + 5 的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．26. 已知函数 y = x 和 y => x 的解集为（）．A ． -2 ≤ x < 2yB ． -2 ≤ x ≤ 2C ． x < 2AD ． x > 2x6 题图BC7 题图37. 如图所示，在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，点 D 在 BC 上， BD = 4 ， AD = BC ， cos ∠ADC = ，则5DC = ， s in B = ．8. 在数轴上数 a 和 3 的对应点分别为点 A 和点 B ，点 A 到原点的距离为 1.5，则点 A 关于点 B 的对称点所对应的数是 ．9. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米，桥下的水深为 2 米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？23 2x + 2 x + 2 43 2 1-4 -3 -2 -1O 12 3 4-1 -2 -3 -4A CO10. 如图，已知∆ABC 内接于圆 O ，AD 是圆 O 直径交 BC 于 E ．求证： tan B ⋅ tan C =AE．DEAOBECD11. 如图所示，已知矩形 AOBC 中，以 O 为坐标原点，OB 、OA 分别在 x 轴、y 轴上，A （0，4）， ∠OAB = 60︒ ，以 AB 为轴对称后，使 C 点落在 D 点处，求 D 点坐标．yxD12. 已知两点 A （x ，y ）和 B （x ，y ），线段 AB 中点坐标可用公式（ x 1+ x 2，y 1 + y 2）计算．现11 2 2已知 M （－1，2），N （5，14）．（1） 计算 MN 中点的坐标； （2） 试研究：怎样不画图计算出线段 MN 的两个三等分点的坐标？224 41 初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．A7．6，8．4.5 或7.5 9．2.76 米4110．提示：可以作AG ⊥BC 于F，交圆O 于G，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结 BD、CD，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2 ，－2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）.提示:可推得两个三等分点的坐标公式（2x1+x2 ，2 y1+y2 ）、（x1+ 2x2 ，y1+ 2 y2 ）3 3 3 3311。