高三年级十三校第一次联考数学(文科)试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.1. 已知*n N ∈，则1lim32n n n →∞+=- . 2. 如图，U 是全集，A U B U ⊆⊆，，用集合运算符号3. 表示图中阴影部分的集合是 .4. 函数1()sin 2cos 22f x x x =-+的最小正周期是.5. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、的根，其中i 是 6. 虚数单位，则b c += . 7. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减， 8. 则实数a 的取值范围是 .9. 图中是一个算法流程图，则输出的 10. 正整数n 的值是 ． 11. 设函数212() 0()2log (2) 0x x f x x x ⎧⎪-≤=⎨+>⎪⎩的反函数 12. 为1()y f x -=，若1()4f a -=，则实数a 的值是 . 13. 如图，在ABC ∆中，90 6 BAC AB D ∠==，，在斜 14. 边BC 上，且2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 . 15. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .16. 已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为 .17.已知等差数列{}n a 的公差4d =，且711a =，若112k k a a ++>，则正整数k 的最小值 18. 为 .19. 设不等式21log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1 2)M ⊆，，则实数a 的取值范围20. 是 . 21.已知函数()2arctan x f x x=+，数列{}n a 满足*111()()()402312n n na a f a f n N a +==∈，－，则2012()f a = . 22. 设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： 23. ①方程20(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；24. ②方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；25.③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解b x a=-； 26. ④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解. 27. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每小题5分. 28. 满足不等式3121x x -≥+的实数x 的取值范围是 ( ) 29.A.( 4]-∞-，B.1[4 ]2--，C.1( 4]( )2-∞--+∞，， (第2题图)DA B C(第8题图)D.1[4)2--， 30.31.设角 αβ、是锐角，则“4παβ+=”是“(1tan )(1tan )2αβ++=”成立的 ( ) 32. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 33. 对于复数 a b c d 、、、，若集合{ }S a b c d =，，，具有性质：“对任意 x y S ∈，，都有xy S ∈”，则当2211a b c b=⎧⎪=⎨=⎪⎩时，b c d++的值是( )34. A.1 B.1- C.i D.i - 35. 某个群中有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1 2 3 n ，，，，.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对( )()p q p q <，表示，规则如下：若编号为k 的同学看到像为( )p q ，，则编号为1k +的同学看到像为( )q r ，，且*( )q p k p q r N -=∈，，.已知编号为1的同学看到的像为(5 6)，.请根据以上规律，编号为3和n 的同学看到的像分别是 ( )36. A.(7 10) (4 24)n n ++，；， B.22838(10 13) ( )22n n n n ++++，；，37.C.222545(10 13) ( )22n n n n ++++，；， D.221010(8 11) ( )22n n n n -+++，；， 三、解答题(本大题共5小题，满分74分)38. (本题满分12分)已知矩阵||5||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不大于行列式2143的值，求实数x 的取值范围.39. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白8(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.40.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知函数())(0)3f x x πωω=+>.(1)若()(0)2y f x πθθ=+<<是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值； (2)若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()f x 在[0 ]π，上的取值范围.41. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)在n a 与*1()n a n N +∈之间插入n 个1，构成如下的新数列：1234 1 1 1 1 1 1 a a a a ，，，，，，，，，，，求这个数列的前2012项的和；(3)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.42.(本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分) 已知函数22()(1)(1)x b f x x D a x=-+-∈，，其中0a b <<.(1)当(0 )D =+∞，时，设xba x t +=，()()f x g t =，求()y g t =的解析式及定义域； (2)当(0 )D =+∞，，12ab ==，时，求)(x f 的最小值；(3)设0k >，当22(1)a k b k ==+，时，1()9f x ≤≤对任意[ ]x a b ∈，恒成立，求k的取值范围.高三年级十三校第一次联考数学(文科)答题纸.12.8三．解答题21（14分）．解：（16分）．解：23（18分）．解：考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.1. 已知*n N ∈，则1lim32n n n →∞+=- .132. 如图，U 是全集，A U B U ⊆⊆，，用集合运算符号3. 表示图中阴影部分的集合是 .U A B4. 函数1()sin 2cos 22f x x x =-+的最小正周期是 .π 5. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、的根，其中i 是 6. 虚数单位，则b c += .1 7. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减，8. 则实数a 的取值范围是 .102a << 9. 图中是一个算法流程图，则输出的 10. 正整数n 的值是 ．11 11. 设函数212() 0()2log (2) 0x x f x x x ⎧⎪-≤=⎨+>⎪⎩的反函数 12. 为1()y f x -=，若1()4f a -=，则实数a 的值是 .2log613. 如图，在ABC ∆中，90 6 BAC AB D ∠==，，在斜 14. 边BC 上，且2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 .2415. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .416. 已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为 .217.已知等差数列{}n a 的公差4d =，且711a =，若112k k a a ++>，则正整数k 的最小值 18. 为 . 619. 设不等式21log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1 2)M ⊆，，则实数a 的取值范围 20. 是 . (1 21.已知函数()2arctan x f x x=+，数列{}n a 满足*111 ()()()402312n n n a a f a f n N a +==∈，－，则2012()f a = .24π+ (第2题图)DA B C (第8题图)22. 设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： 23. ①方程20(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；24. ②方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；25.③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解b x a=-； 26. ④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解. 27. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每小题5分. 28.满足不等式3121x x -≥+的实数x的取值范围是( D ) 29. A.( 4]-∞-， B.1[4 ]2--，C.1( 4]( )2-∞--+∞，，D.1[4 )2--，30.设角 αβ、是锐角，则“4παβ+=”是“(1tan )(1tan )2αβ++=”成立的( C ) 31. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 32. 对于复数 a b c d 、、、，若集合{ }S a b c d =，，，具有性质：“对任意 x y S ∈，，都有xy S ∈”，则当2211a b c b=⎧⎪=⎨=⎪⎩时，b c d++的值是( B )33. A.1 B.1- C.i D.i - 34. 某个群中有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1 2 3 n ，，，，.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对( )()p q p q <，表示. 规则如下：若编号为k 的同学看到像为( )p q ，，则编号为1k +的同学看到像为( )q r ，，且*( )q p k p q r N -=∈，，.已知编号为1的同学看到的像为(5 6)，.请根据以上规律，编号为3和n 的同学看到的像分别是 ( D )35. A.(7 10) (4 24)n n ++，；， B.22838(10 13) ( )22n n n n ++++，；， 36.C.222545(10 13) ( )22n n n n ++++，；，D.221010(8 11) ( )22n n n n -+++，；，三、解答题(本大题共5题，满分74分)37. (本题满分12分)已知矩阵||5||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不大于行列式2143的值，求实数x 的取值范围. 解：依题意，21243=， (4)分显然列向量||5||10x x a +⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭的模不大于2，即||52||1x x +≤+，…………………………………8分解得3x ≥，或3x ≤-∴满足条件的实数x 的取值范围是( 3][3 )-∞-+∞，，…………………………………12分 38. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白8(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.解：(1)依题意，18210t -≤……………………………………………………………………2分∴82log 10127.58t ≤+≈……………………………………………………………………5分即第一次最迟应在第27天注射该种药物. …………………………………………………7分(2)设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ，则912(198%)a =-，且1012(198%)n n a a +=-，∴1012(198%)n n n a -=-…………………10分于是1031332(198%)a ⨯-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为3232100，…12分 到第38天小白鼠体内的这种癌细胞个数为32878322 1.11010100⨯≈⨯<……………………14分 ∴第38天小白鼠仍然存活.（注：列举法求解的也行，请按步骤评分） 39. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 已知())(0)3f x x πωω=+>.(1)若()(0)2y f x πθθ=+<<是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；(2)若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()f x 在[0 ]π，上的取值范围. 解：(1)∵())3f x x πθωωθ+=++……………………………………………………1分又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数，∴2ππω=，即2ω=， ……………………3分且232k ππθπ+=+，即()212k k Z ππθ=+∈ …………………………………………………6分 注意到02πθ<<，∴2 12πωθ==，为所求；…………………………………………………7分 (2)因为()f x 在(0 )3π，上是增函数，∴53023212()12326332k k k Z k k ππωππππωωπ⎧⎧⨯+≥-≤⎪⎪⇒∈⎨⎨≤+⨯+≤+⎪⎪⎩⎩，…………………………………………9分 ∵0ω>，∴1206k +>，∴151212k -<<，于是0k =，∴106ω<≤，即ω的最大值为61，……………………………………………12分此时，()3sin()23x g x π=+，∴510sin()1()3236223x x x g x πππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤+≤⇒∈ (14)分 40. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)在n a 与*1()n a n N +∈之间插入n 个1，构成如下的新数列：1234 1 1 1 1 1 1 a a a a ，，，，，，，，，，，求这个数列的前2012项的和；(3)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.解：(1)设11n n a a q -=，由)(22*1N n S a n n ∈+=+知，112111222()2a q a a q a a q =+⎧⎨=++⎩，………2分 解得{123a q ==， ∴123n n a -=⨯…………………………………………………………………4分(2)依题意，到n a 为止新的数列共有(1)12342n n n ++++++=项，…………………6分令(1)20122n n +=，得62.9n =≈， 即到62a 为止新的数列共有62(621)12346219532++++++==项…………………8分故该数列的前2012项的和为626212622(13)1261(20121953)19503194913a a a ⨯-++++++++-=+=+-（或626212622(13)(201262)19503194913a a a ⨯-++++-=+=+-）………………10分(3)依题意，1123234311n n n n d n n --⨯-⨯⨯==++；11(2323)(2)4(2)32n n n n n A n --⨯+⨯+==+⨯要使()n n A g n d =，则11434(2)3()1n n n g n n --⨯+⨯=⨯+，…………………………………14分∴2()(2)(1)32g n n n n n =+⨯+=++，即存在2()32g n n n =++满足条件. ………16分41. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)已知函数22()(1)(1)xb f x x D a x=-+-∈，，其中0a b <<.(1)当(0 )D =+∞，时，设xba x t +=，()()f x g t =，求()y g t =的解析式及定义域； (2)当(0 )D =+∞，，12ab ==，时，求)(x f 的最小值；(3)设0k >，当22(1)a k b k ==+，时，1()9f x ≤≤对任意[ ]x a b ∈，恒成立，求k的取值范围.解：(1)设(0)x b t x a x =+>，则t ≥，当且仅当ab x =时取等号，………………2分此时222222()(1)(1)(1)1(1)1xbx b b b f x t axax a a=-+-=+--+=--+，………………4分即22()(1)1b g t t a =--+，其定义域为)+∞ (5)分(2)由(1)知，当12a b ==，时，2()(1)3(g t t t =--≥……………………………7分函数2()(1)3g t t =--在)+∞上单调递增，∴2min ()1)36f x g ==-=-…………………………………………10分(3) 设2222(1)([ (1)])x k t x k k k x+=+∈+，，则2(1)k t k +≥，当且仅当(1)x k k =+时取等号，显然22(1)[ (1)]k k k k +∈+，且当2x k =和2(1)x k =+时，都有22(1)1k t k +=+………………………………………13分此时2222222(1)2(1)()()(1)[1](1)1k k x f x g t t k x k ++==-+-=--+，其中222(1)(1)[1]k k t k k ++∈+，………………………………………………………14分 函数2222(1)()(1)1k g t t k +=--+在222(1)(1)[ 1]k k k k +++，上单调递增， ∴22min222(1)2(1)2(1)2()[][1]1k k k f x g k k k k +++==--+= 222222max 2222(1)(1)2(1)(1)()[][]1[1]k k k k f x g k k k k++++==-+=-…………………………16分又1()9f x ≤≤对任意22[ (1)]x k k ∈+，恒成立， ∴222221(1)[1]9k k k⎧≥⎪⎨+-≤⎪⎩，即113k k k ≤⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩或， 注意到0k >，∴1k ≤≤. (18)分。