双抛物线势场中的隧道效应王 鑫(陕西理工学院 物理系2007级物理学3 班 ，陕西 汉中 723000)指导老师：王剑华[摘要]量子力学中的隧道效应是一种重要的物理现象，有着非常广泛的应用. 本文从薜定谔方程出发,讨论了求解双抛物线势场中的隧道效应，给出了相应的透射系数和反射系数，并对其进行讨论，研究其应用。
[关键词] 薜定谔方程与遂道效应；双抛物线势场中粒子的透射系数；双抛物线势场中粒子的透射系数；隧道效应及其应用引言在量子力学发展初期，德布罗意根据光的波粒二象性，提出了物质波假说，即认为微观粒子（电子、质子、中子等）也具有波动性。
由于微观粒子具有波动性因而它在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒，这种现象称为隧道效应，隧道效应完全是由于微观粒子具有波动的性质而来的。
1957年，江崎制成了隧道二极管，第一次令人信服地证实了固体中的电子隧道效应的存在。
1960年贾埃弗利用隧道效应测量了超导能隙，验证了超导理论。
1982年德国的宾尼等研制成功第一台扫描隧道显微镜，把隧道效应的应用推向一个新的阶段。
近几年来，人们十分关注分子和半导体量子阱中双势的隧道效应问题研究[4-8]，氨分子作为一个典型的三角锥形模型，早在1927年Hund 就提出量子隧道效应会对三角锥形分子的内部结构有很大的调整作用[1]。
适当选择外部条件便可在不同程度上控制分子结构的稳定性。
近几年来在介观尺度的隧道效应和光子隧道效应方面的研究日益成为热点[1-9]，如在超导技术及纳米技术方面的应用发展较为明显[3]。
本文就双抛物线的隧道效应问题求解并进行讨论[2-3]。
1 薛定谔方程与隧道效应在量子力学中，微观体系的运动状态是用一个波函数来描写的，反映微观粒子运动规律的微分方程是()t r ,ψ对时间的一阶微分方程，即:ψ+ψ∇-=∂ψ∂)(222r U t i μ(1.1) 我们称它为薛定谔方程（Schrödinger equation)，式中)r (U是表征力场的函数。
如果作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是以势能)(r U表征的，它不显含时间，这时定态波函数所满足的方程为:ψ=ψ+ψ∇-E r U )(222 μ(1.3) 称为定态薛定谔方程（Schrödinger equation of stationary state )，其中E 表示微观粒子处于这个波函数所描写的状态时的能量，且其能量具有确定值。
设一个粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为:⎩⎨⎧=0)(0U x U （2.1）这种势能分布称为一维势垒。
如图2.1所示，故称方势垒。
虽然方势垒只是一种理想的情况，但却是计算一维运动粒子被任意场散射的基础。
粒子在0x <区域内，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能超越势垒达到0x >的区域。
在量子力学中，情况则不一样。
为了讨论方便，我们把整个区域分为三个区域：Ⅰ()0x ≤，Ⅱ()0x a ≤≤，Ⅲ()x a ≥图2.1 一维方型势垒为了方便起见，将整个空间划分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区，则其定态薛定谔方程为22222220 (0,),2()0(0).d E x x a dx d E U x a dx μμ⎧ψ+ψ=≤≥⎪⎪⎨ψ⎪+-ψ=≤≤⎪⎩(2.2) 当0U E >时，透射系数T ，反射系数为R2212222222122122222122222222122124()sin 4()sin ()sin 4k k T k k k a k k k k k a R k k k a k k ⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩当0U E <时，只需令32ik k =即可，透射系数)0(a x ≤≤ ),0(a x x ≥≤（2.3）（2.4）2213222222133134()4k k T k k sh k a k k =++ (2.5) 反射系数为1R T =- (2.6)如果粒子能量比势垒高度小得多，即0U E <<，同时势垒的宽度a 不太大，以致13>>a k ，则a k ak e e33->> ，此时233a k ea shk ≈，于是32213222222131341()44k a k k T k k e k k ≈++ 322313111()116k ak k e k k =++ (2.7))(1331k k k k +为恒大于1的数值，当13>>a k 时432>>a k e3200k aT T e T e -== (2.8)当0E U >的时候，按照经典力学观点，在0E U >情况下，粒子应畅通无阻的全部通过势垒，而不会在势垒上发生反射。
而在微观粒子的情形，则会发生发射。
当0E U <的时候，从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数。
即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时在x a >区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x a >区域。
粒子在总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为遂道效应。
其中221302221316()k k T k k =+ 它的数量级接近于1，所以透射系数随势垒的加宽或加高而减小。
由上面的结果我们可以看到，微观粒子被势垒散射有与宏观粒子完全不同的效应。
当一个宏观粒子的能量E 大于势垒高度0U 时，此粒子将通过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。
但是对于一个能量0U E >的微观粒子，不但有穿过势垒的可能，而且还有被反射的可能。
如果一个宏观粒子的能量0U E <，则当此粒子在区域（Ⅰ）内由左向右运动到达势垒边界时将被反射，所以粒子不可能穿过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。
但是对于一个0U E <的微观粒子却不然，它既有被反射的可能，也有穿透势垒而进入区域（Ⅲ）的可能，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。
2 双抛物线势场中粒子的波函数下面计算xα2- a b 0 c d α2()()2010220202() 20,() 02.V V x x a V x aV V x x a V x a αα⎧=-++-≤≤⎪⎪⎨⎪=--+≤≤⎪⎩（4.1）各个薛定谔方程为222222222222202,()0 20,()0 02,20 2.d E x d x d m x a n x d xd m x a n x d x d E x d x μαααμα⎧ψ+ψ=≤-⎪⎪ψ⎪+++ψ=-<≤⎪⎪⎨ψ⎪+-+ψ=<≤ψ+ψ=≤⎩⎪⎪⎪⎪ (4.2)其中m a U =2202 μ n U E =-)(202 μ令() x V E k 11(2-=μ () x V E k 22(2-=μ () x V E K 11(2--=μ () x V E K 22(2--=μ如上图所示，假设粒子以一定的能量E 从左入射，碰到势垒V （x ），设V （x ）变化比较缓慢，而且入射粒子能量E 不太靠近V （x ）的峰值，此时可以用W.K.B.法来处理粒子穿透势垒的现象。
按照经典力学，粒子在x=a 处被碰回，但按照量子力学，考虑到粒子的波动性，粒子有一定的几率穿透势垒。
当然，在许多情况下，这种几率是很小的。
现在我们就来计算双势垒穿透几率T 的大小。
在A 区远离a 处,由(3.6)式得波函数是⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰⎰+=ψax axdx k i dx k i ek A eAk 4211'4211111ππ, (4.3)在C 区远离b 处,由(3.6)式得波函数是⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛--⎰⎰+=ψxb xb dx k i dx k i ek B eBk 4211'4211311ππ , (4.4)而根据连接关系(3.8),(3.9),则在区域B 中的W.K.B.近似解应为⎰+⎰+⎰-⎰=ψ------bxbx bxbx dx K dx K dx K dx K e K iB e K B e iBK e BK 1111211'211'21121122121=⎰⎰⎰⎰--------++-x axaxaxadx K dx K dx K dx K e K iB e K B e iBK e BK 1111211'1211'21112112121ττ.(4.5)其中, ⎰=badxK e 11τ.利用a 处的连接公式(3.10),(3.11)在区域A 中的W.K.B.近似解(4.3)应为⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ψ⎰⎰--ax a x k iBk dx k Bk 4cos 2)4sin(21112111112111πτπτ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+⎰⎰--ax a x k k iB dx k k B 4cos 2)4sin(211111'111211'πτπτ=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰++-ax dx k i e B B k i 1)]221()221([211'11211ττττ +⎪⎭⎫⎝⎛--⎰--+-a xdx k i e B B k i 1)]221()221([211'11211ττττ , (4.6)同理,在D 区域的波函数为⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛--⎰⎰+=ψcx cx dx k i dx k i ek C eCk 4211'4211411ππ , (4.7)在F 区域,远离d 处,由于只有投射波,没有反射波,所以,W.K.B 近似解为⎪⎭⎫⎝⎛--⎰=ψxd dx k i eDk 421262π=⎰⎰-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---x d x d dx k iDk dx k Dk )4sin(4cos 2212212ππ , (4.8)由(3.8),(3.9) 则在区域E 中的W.K.B.近似解应为⎰--⎰---=ψx c x c dxK dx K e iDK e DK 22221212212521ττ.(4.9) 其中, ⎰=dcdxK e 22τ,⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ψ⎰⎰--cx c x k iDk dx k Dk 4cos 2)4sin(212122122122124πτπτ⎰--+⎰-=-----cx cx dx k i dx k i ek iD e k iD )4(21222)4(2122222)221(2)221(2ππττττ . (4.10) 利用波函数43,ψψ及其微商在x=0处的连续性得方程组并解之得 )221(222ττα--=i e iD B (4.11) )221(222'ττα+-=-i e iD B (4.12) 其中)(12⎰⎰-=bcdx k dx k i α3 双抛物线势场中粒子的透射系数下面计算粒子在双抛物线势场中的透射系数。