通过隧道效应出来的 对不同的核算出的衰变 概率和实验一致
0
R

r
38
2.扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） 1986. Nob： 宾尼（G.Binning） 罗尔（Rohrer） 发明STM
鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明 电子显微镜 STM 是一项技术上的重大发明 用于观察
2 2
x0
U(x)
令 方程为
2
2mE k 2
2
U0
E
Ⅰ区
d 1 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
0 Ⅱ区
x
x0
27
II 区
2 d 2 2 ( x) U 0 2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx d 2 2 ( x) 2m 2 ( E U 0 ) 2 ( x) 0 2 dx
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
3.5 一维谐振子 一.势函数 二.薛定谔方程及解
三.与经典谐振子的比较
49
谐振子不仅是经典物理的重要模型 也是量子物理的重要模型 如： 黑体辐射 场量子化
表面的微观结构（不接触、不破坏样品） 原理：利用量子力学的隧道效应
39
电子云重叠
U0
U0
U0
A
隧道电流i 探针 U
E
A
样品
d B
A d
d
B
i Ue
A——常量 ——样品表面平均势 垒高度（~eV） 。 d ~ 10A d变 i变 40 反映表面情况
显示器
压电 控制 加电压 反馈传 感器 隧道 电流
19
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a 小结：本征能量和本征函数的可能取值
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
P n
2 2πx P sin 1 a a
操 硅原子 形成2 纳米的 线条
1994年中国科学院科学家“写”出的
平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
“扫描隧道绘画 ”
CO分子竖 在铂片上
分子人高 5nm
视频： 1.扫描隧道显微镜 2.显微镜 一氧化碳“分子人”
隧道效应

a 2 m (U 0 E )
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
波穿过势垒后
将以平面波的形式继续前进( 3 )
振幅为 2 (a ) 称为势垒穿透或隧道效应
34
隧道效应
• 经典
• 量子
1. 穿透系数
T 2 (a ) e
2
2a 2 m (U 0 E )
a T (U 0 E) T
2
n4
a 4 2
3 x
2
n3
E3
2a 3 3
2 x
2 x
E2
2
n2
2 a
x 2 1
1 2a
n1
1 x
E1
o
a
o
a21
n 时， 量子经典
Ψ | n|
2
n很大
玻尔对应原理
En
0
a
22
三.旧量子论的半经典解释 粒子在势阱内动量为
L—阱宽
16
3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
( x) ( x)dx 1
* 0
a
B 2sin 2 kxdx 1
0
a
得
2 B a
( n 1,2,3,)
17
2 •本征函数 n ( x) sin nπ x a a
6.定态波函数
考虑到振动因子 e
i Ent
解的形式为 ( x) B sin kx
2)能量取值
x a 处 ( a) 2 ( a) 0
Bsin ka 0
14
B sin ka 0
A已经为零了 B不能再为零了 即 要求
B0
只能 ka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 2＝2mEn n π k 2 2 a
5.求出概率密度分布及其他力学量
3
二.几种势函数 U(x) 1.自由粒子 U( x) 0
2.方势阱
U(x)
U(x)
U( x) 0
U( x) 0
无限深方势阱 能级结构问题
4
方势阱
是实际情况的 极端化和简化
U(x)
U( x) 0
金属中的电子
分子束缚 在箱子内
三维方势阱
方势阱
5
入射+反射
Ψ1
透射Ψ 2
U0
E
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
30
4.概率密度 ( x > 0 区 )
本征波函数 2 ( x) Ce 概率密度
2
x
Ce

1 2 m (U 0 E ) x
2 ( x) e 2 x
| 2 ( x) | e
2

2 2 m (U 0 E ) x
当 U 0 E 5eV 势垒宽度 a 约50nm 以上时 穿透系数会下降6个数量级以上
此时量子概念过渡到经典
36
2. 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的
量子物理： 粒子有波动性 遵从不确定原理 粒子经过II区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度x = a不是无限大 粒子能量就有不确定量E
E2 4E1
E3 9E1
2 2π 2 2 2π 2 sin x P2 sin x a a a a 2 3π 2 2 3π 3 sin x P3 sin x a a a a 20
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x) 4 x
3 x
E4
4 x
n n
i Ent ( x)e
i Ent e
2 nπ n sin x a a
( n 1,2,3,)
（驻波解）
18
7. 概率密度
Pn
*
*
2 2 nπ sin x a a
n 1,2,
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a
•令 将方程写成 •通解
k2
2mE 2
( x) k 2 ( x) 0
( x) A coskx B sin kx
式中 A 和 B 是待定常数
13
5.由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
( x) A coskx B sin kx
1)解的形式
x 0 处 (0) 2 (0) 0 A 0
2
波动形式
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 x0 2 dx x x 通解 2 ( x) Ce De
指数增加和衰减
29
考虑物理上的要求
当x 时 2(x) 应有限 所以 D= 0
1 2 m (U 0 E ) x
于是 2 ( x) Ce x Ce
3.势垒
U(x)
U(x)
梯形势 散射问题
势垒 隧道贯穿
U(x)
U(x)
6
4.其他形式
超晶格
谐振子
7
一.一维无限深方形势阱
U(x) U=U0 功函数 U=U0 极 U(x)
U→∞
U→∞
E
U=0
金属
E
a 0 x 无限深方势阱 （ potential well ） U=0
x
限
a
分子束缚 在箱子内 三维方势肼
8
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
U→∞
U→∞
U(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
U=0
0
a
x
9
二.薛定谔方程和波函数 粒子在阱内自由运动

U ( x) 0
0

不能到阱外 1.势函数 阱内
阱外
a
x
U ( x) 0
( 0 x a)
U (x) ( x 0 x a)
x >0区 (E < U0) 粒子出现的概率 0
U0 x 概率
31
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0) 量子：电子可透入势垒 若势垒宽度不大 则电子可逸出金属表面 在金属表面形成一层电子气
入射+反射
Ψ1
透射Ψ2
U0
E
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
32
二.有限宽势垒和隧道效应 U0 Ψ2
π 2 n (n 1,2,3,) 能量可能值 En 2 2ma
2 2
15
讨论
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2ma
2 2
•每个可能的值叫能量本征值 •束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念) 能量量子化 •最低能量不为零 波粒二象性的必然结果
请用不确定关系说明 •当n趋于无穷时 能量趋于连续 2 2 π 2 •通常表达式写为 En n n 1,2, 2 2mL