第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。

1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。

（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。

（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。

（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。

（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。

（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。

（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。

（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。

若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。

（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。

（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。

（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。

（43）五、 计算 ¼ABCxdy ydx-⎰，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -，»AB 为圆221x y +=的上半部分，»BC 为L 是一段抛物线21y x=-。

（43π--2）六、 计算Lxdy⎰Ñ，其中L 是由直线123x y+=和两个坐标轴构成的三角形闭路，沿逆时针方向。

（3）七、 计算222()2Ly z dx yzdy x dz -+-⎰，其中L 是曲线23,,x t y t z t ===从t =到1t =的一段弧。

（135）八、已知平面力场{,}F y x =u r，将单位质量的质点M 从坐标原点沿直线移动到椭圆22221x y a b +=在第一象限上，问终点在何处时，力F u r 做功最大？并求出功的最大值。

（max 2ab W =） 10.3 格林公式及其应用一、 利用曲线积分计算由旋轮线 (sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0t π≤≤2）与x 轴所围区域的面积。

（23a π）二、 利用格林公式计算下列曲线积分：1.222()()Lx y dx x y dy ++-⎰Ñ，其中L 是顶点为(1,1),(3,3),(3,5)A B C 的三角形的边界，沿逆时针方向。

（12-）2.22Lxy dx x ydy -⎰Ñ，其中L 是圆周222x y R +=的逆时针方向。

（0）3.2222(2)(2)Lxxy y dx x xy y dy+-+-+⎰，其中L 是从点(0,1)A -沿直线1y x =-到点(1,0)M ，再从点M 沿圆周221x y +=的逆时针方向到点(0,1)B 。

（23）4.[()][()]x xLf y e my dx f y e m dy '-+-⎰，其中()f y 具有连续的导数，L是连接点1(0,)A y 和2(0,)B y 的任何路径，且L 与直线AB 所围成的区域的面积为定值S ，L 总是位于直线AB 的左方。

（2121()()()mS f y f y m y y +---）三、 求 22L xdy ydx dy x y -+⎰Ñ，其中L 为正方形1x y +=的逆时针方向。

（2π）四、设曲线积分2)Lxy dx y x dyϕ+(⎰与路径无关，其中)x ϕ(具有连续的导数，且ϕ(0)=0，求)x ϕ(，并计算积分(1,1)2(0,0))xy dx y x dyϕ+(⎰。

（21),2x x ϕ(=）五、求22(2)(2)Ly xy dx xx y dy++++⎰，其中L 是224x y +=的上半圆，由点(4,0)A 到点(0,0)B 的弧段。

（2π）六、求Ly dx x dy+⎰Ñ，其中L 是以(1,0),(0,1),(1,0)A B C -为顶点的三角形的正向边界曲线。

（1-）七、证明：2223(36)(64)x xy dx x y y dy ++-在xOy 面上是某一函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y 。

（3224(,)3u x y x x y y C =+-+） 八、求抛物线2()(0)x y ax a +=>与x 轴所围区域的面积。

（26a ）九、设()f x 在(,)-∞+∞上有连续导数，求2221()[()1]L y f xy x dx y f xy dy y y ++-⎰，其中L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段。

（4-）10.4 对面积的曲面积分一、 计算下列曲面积分：1.22()x y dS ∑+⎰⎰Ò，其中∑是球面2222x y z R++=。

（483R π）2.xyzdS∑⎰⎰，其中∑是平面1x y z ++=在第一卦限部分。

（）3.22()x y dS ∑+⎰⎰Ò，其中∑是由圆锥面z =和平面1z =所围成的圆锥体的表面。

（11)2π）4.()xy yz zx dS∑++⎰⎰，其中∑是圆锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下的那块曲面。

（4）5.3zdS∑⎰⎰，其中∑是抛物面222z x y =--（0z ≥）。

（11110π）6.xydS∑⎰⎰，其中∑是曲面22z x y =+（01z ≤≤）在第一卦限的部分。

（1 240）二、求上半球壳2222(0)x y z a z++=≥的质量，此壳的面密度zρ=。

（3a π）三、求均匀曲面z=的重心坐标。

（(0,0,)2a）10.5 对坐标的曲面积分一、把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy∑++⎰⎰化为对面积的曲面积分：1. ∑为平面326x y++=在第一卦限部分的上侧。

（1(32)5P Q dS∑++⎰⎰）2. ∑为球面2222x y z a++=的内侧。

（∑-）二、计算()()()f x dydzg y dzdxh z dxdy∑++⎰⎰，其中(),(),()f xg yh z为连续函数，∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c≤≤≤≤≤≤的表面外侧。

（()(0)()(0)()(0)[]f a fg b gh c habca b c---++）三、计算xyzdxdy∑⎰⎰，其中∑为圆柱面222x y R+=在0,0x y≥≥两卦限内被平面0y=及(0)y h h=>所截部分的外侧。

（3213R h）四、 计算()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy∑-+-+-⎰⎰Ò，其中∑为圆锥面z =及平面(0)y h h =>所围成的空间区域的整个边界的外侧。

（0）五、计算[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy∑+++++⎰⎰Ò，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。

（12）10.6 高斯公式 通量与散度一、利用高斯公式计算曲面积分：1.xydydz yzdzdx zxdxdy∑++⎰⎰Ò，其中∑是由1x y z ++=和三个坐标面所围成的四面体的外侧表面。

（18）2.()()()x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy∑-++-++-+⎰⎰Ò，其中∑是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧。

（43abc π）二、求向径{,,}x y z =r通过圆锥体1z =01z ≤≤）全表面外侧的通量。

（π）三、求333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=的上半部分的外侧。

（565a π）四、求2222221[()()][()()][()]3z f a x a y dydz f a x a y dzdx x y z dxdy a y a x ∑++-+++++++⎰⎰其中∑是球面2221x y z ++=的下半部分的上侧，常数1a >，f 可导。

（25π-）五、求2233()(sin )z xz ye dydz x ydzdx x zy dxdy ∑++++⎰⎰，其中∑是下半球面z =的上侧。

（565a π）六、计算(2)x z dydz zdxdy∑++⎰⎰，其中∑为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。

（π-2）七、求下列向量场的散度：1.A yz xz xy =++i j k u r（div 0A =u r）2. A =r ru r ，其中x y z =++r i j k（div A =u r ）10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度一、利用斯托克斯公式计算曲线积分：()()()Lz x dx x z dy x y dz-+-+-⎰Ñ，其中L 是椭圆2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩，从z 轴正向往负向看，L 的方向是顺时针方向。

（2π-）二、求向量场(23)(3)(2)A z y x z y x =-+-+-i j k u r的旋度。

（{2,4,6}A =rot u r ）。