高等数学复习提纲一、 极限 （一）极限七大题型 1. 题型一()lim()m xn P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。
2. 题型二()limx a a 有限分子分母将a 带入分母3. 题型三（进入考场的主要战场）()lim v x xau x注：应首先识别类型是否为为“1”型！公式：1lim(1)e 口诀：得1得+得框，框一翻就是e 。
（三步曲） 4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→） （1）A:同阶无穷小：lim0()xff g 是g 的同阶；B:等价无穷小：lim1(g )xf fg 和等价；C:高阶无穷小：lim0(g )xf f g是的高阶.注意：f g 和的顺序（2）常用等价替换公式：0 直接带入a 求出结果就是要求的值21~-n特别补充：21sec 1~2-（3）等价替换的的性质： 1）自反性：~;αα2）对称性：~~αββα若，则；3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换题型五lim ()()0(()0,())x axf xg x f x g x 不存在但有界有界：,|()|M g x M有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）识别不存在但有界的函数：sin,cos,,2e5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限（1）极限存在条件 0lim ()(0)(0)xx f x Af x f x A 左左右右（2）极限的连续性 000lim ()()()xx f x f x f x xx 即在连续0(0)(0)()f x f x f x（3）间断点及分类（★难点）把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。
A:间断点：定义域不能取值的点 B:间断点分类lim ()xx f x二、 导数（坚守的阵地）（一） 导数定义 定义一1、“陡”、“平”的形象叙述;2、00()'()df x f x dx 唯一切线斜率（）; 3、00()()tan f x x f x yx x;4、0000()()'()limx f x x f x f x x. 拓展：0000()()lim '()f x f x Af x注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带入 定义二0000()()'()lim()xf x x f x f x x （左导）左支 0000()()'()lim()x f xx f x f x x（右导）右支A,Ⅰ类可去,Ⅱ类不存在，不能分类，求左右极限0)(0)f x 有限(0)(0)f x f x000'()'()'()f x f x f x 存在（二） 导数常用公式（三） 导数运算 1、乘法运算：()'''uv u vuv ()''''uvw u vw uv w uvw2、除法运算：2''()'uu v uv vv（四） 复合函数求导（核心容★★★）1、 层次分析（如右“九字诀”,由外向，“遇则则止”）所谓的“则”是＋、-、×、÷2、几点性质：（1）公式()ln x '=1x，推广为：11(ln ||)'||x xx （2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换（3）奇偶性: ①()'y f x y 奇偶 ②()'yf x y 偶奇（五） 高阶导数（六） 微分 1、 基本知识 'dyy dx 注意求的时候要加“d x ”.2、参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分()x t =()y y t =公式：''t t y dy dxx 22()''t t dyd y dx dx x 3、 符号型求导 ""f 层抽象符号层 4、隐函数求导（必考）(),y f x =一元显函数 (,),u f x y =二元显函数 (),y y x =一元隐函数题目一般形式是:(,)(,),f x y g x y =22d d ,.d d y yx x求5、 对数法求导巧用对数的性质，变形式子 （七） 导数的应用 1、 切线与法线切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1；t 为中间变量2、 洛必达法则（极限题型六）（★）3、 函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1）“峰”——极大值；“谷”——极小值；单调性与极值求解 A ：单调性：'0,;'0,.y x I y y x I y >∈⇒↑<∈⇒↓B ：单调性交界点→极值点（判据） C:极值点可疑点（'0&'y y =不存在☆）D:渐近线 lim (),()lim ()()x x af x A y A y f x f x x a y f x →∞→====∞==如果则是的水平渐近线；如果，则是的垂直渐近线.2）函数凹凸性与拐点 A ：''0,;''0,.y x I y y x I y >∈⇒<∈⇒凹（）凸（）B:凹凸性交界点且能取值→拐点 C ：拐点可疑点''0&''y y =不存在☆ 一般求解步骤： （1） 求定义域、渐近线； （2） 计算',''y y ；（3） 求'0,''0y y ==的点和使',''y y 不存在的点，设为123,,...x x x ； （4） 列表分析；（5） 得出结论. 4、 函数最大值、最小值 ()[,]f x x a b ∈连续，比较：1）'()0,'f x f =⇒不存在极值可疑点； 2）端点 5、 函数的实际应用步骤：（1）合理做设，x 具有唯一性；（2）(),y f x =建模；（关键点所在）（3）令*'0,()y x x ==符合实际； （4）“八字”，唯一驻点，即为所求。
三、多元微分学（20+） （一） 显函数一阶偏导数'(,)x x uu u x y x∂==∂变常'(,)y y uu u y x y∂==∂变常 （二）全微分一元函数：(),d 'd y f x y y x == 此时，⇔可微可导 二元函数：(,),d d d .u uu f x y u x y x y∂∂==+∂∂ 此时，⇒可微偏导数存在，且连续 （三） (高)二阶偏导数主要是求22u x ∂∂2u x y ∂∂∂2u y x ∂∂∂22uy ∂∂，分别定义为：222222(),(),(),().u u u u u ux x x x y x y u u u u u uy x y x y y y∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂（四） 二元隐函数求导“求即变”：求哪个，哪个就是变量(,,)0,()F x y z z z x y ==+一般一阶：''x z F z x F ∂=-∂ ''y zF zy F ∂=-∂ 二阶直接求 ：(,)z z x y = （五） 符号型求导（必考）1．(),xu yϕϕ=为已知函数（第一类：“妈妈一元”函数）2. (,2),u f xy x y f =-为已知函数（第二类）(重点★) 会画关系图【例题】(,23),u f xy x y f =-已知.求2,,.u u ux y x y∂∂∂∂∂∂∂解：（1）画关系图u f =1x√ y△ 2 x√ y△（2）“九字诀”求解ux∂=∂u y ∂=∂ 2u x y ∂=∂∂ 四、 不定积分★ （一） 基本知识1. 性质：[()d ]'();d[()d ]()d ;d ()()f x x f x f x x f x x F x F x C ===+⎰⎰⎰2. 基本公式★ 框1 框2（二） 求不定积分的四大方法 1、 方法一 （1） 凑常数 公式：1d d(),,x ax b a b a=+均为常数 （2） 配方见到一元二次方程敏感的想到配方法 （3） 拆分 公式：11()()1[]()()()()()()c ax b a cxd c aax b cx d bc ad ax b cx d bc ad cx d ax b +-+=⋅=⋅-++-++-++（4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分 2、 方法二——固定搭配 公式'()(())d x f x x x ϕϕ⎰ 3、 方法三——分布积分 （1） 一般分布积分公式：d d u v uv v u =-⎰⎰ 关键：v 是什么？ ln arctan arcsin 、、e（2） 特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：2222sin ln sin3d ,d ,d ,d ,sin d ,sin(ln )d ,cos4d 1x xx x xe x x e x x x x x x x e x x x x +⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰等等 4、 方法四——变量替换 （1） 一次项替换 如:x方法：直接令2,t bt x a-==即.（2） 二次项替换 根据下表进行相应替换： （一） 定积分计算1.N-L 公式 （牛顿-莱布尼兹公式）()d ()f x x F x C =+⎰()d ()()()b ba af x x F b F a F x =-=⎰v 的优先级方向高主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ； 2.变换——变限 111()()()()()d [()]'()d .bb x t aa t x f x x f t t t ϕϕϕϕϕϕ---==−−−−→←−−−−⎰⎰（二） 定积分性质1.（1）()d 0.aaf x x =⎰ （2）()d ()d .abbaf x x f x x =-⎰⎰2. d ,(()d )0.d baa b f t t x =⎰若为常数，3. 更名：()d ()d ()d .b b baaaf x x f t t f ==⎰⎰⎰4. 拆分：()d ()d ()d .b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰积分性质的运用：（1） 分段函数的定积分 （2） 函绝对值积分（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算） 5.若()f x 为奇函数，则()d 0.aa f x x -=⎰★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。