吉林油田高级中学-上学期期末考试
高二数学试题(文科)
(考试时间:120分钟,满分:150分 )
第Ⅰ卷
一、选择题: 在下列各小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确选项涂到答题卡上.
1.设a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则 ( ).
A .ac >bc
B .
C .a 2>b 2
D .a 3>b 3 2. 满足()()f x f x '=的函数是( )
A .()1f x x =-
B .()f x x =
C .()0f x =
D .()1f x =
3. ABC ∆中,若︒===60,2,1B c a ,则ABC ∆的面积为 ( )
A .21
B .2
3 C.1 D.3 4. “12x <<”是“2x <”成立的(
). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
5.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C 的方程是( ). A. B. C. D.
6.已知等差数列}{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( )
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
7.若变量满足约束条件 ,则的最小值为( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
8.在下列函数中最小值是2的是( )
11<a b
12
22134x y +
=2214x +=22142x y +=22
143x y +=x y ,111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
2z x y =-1-
A .)0(55≠+=
x x x y B .1lg (110)lg y x x x =+<< C .x x y -+=33 D .)20(sin 1sin π<<+
=x x x y 9.抛物线24x y =上与焦点的距离等于4的点的纵坐标是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10. 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则=
A . 1 B. 2 C. 4 D. 8
11.从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
A. B. C . D. 12.设函数()f x 是定义在()-∞,0上的可导函数,其导数为f ()x ',且2()f x +x ()f x '>2x , 则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为( )
A .(),2014-∞-
B .(),2015-∞-
C .(),2016-∞-
D .(),2017-∞-
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-,则切点0P 的坐标为_______
14. 抛物线的准线方程是__________. 15.函数313y x x =+-的极大值为__________.
16.已知是双曲线的右焦点,P 是C 左支上一点, ,当周长最小时,该三角形的面积为 .
三、解答题:(本题共6小题,17题10分,18-22每小题12分,共70分)解答题应给出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17. 设双曲线的两个焦点为
,一个顶点为,求双曲线的方程,
离心率及渐近线方程。
n a 3a 11a 5a 22
221(0)x y a b a b
+=>>P x 1F A x B y //AB OP O 412
2224
1x y =F 2
2:18y C x -=(A APF ∆C ())
()1,0C
18. 设p :方程210x mx ++=有两个不等的负根,q :方程244(2)10x m x +-+=无实根,若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.
19.在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2asin B
b.
(1)求角A 的大小;
(2)若a =6,b +c =8,求△ABC 的面积.
20. 等差数列中,,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求的值.
21.已知()ln ,(0,],f x ax x x e a R =-∈∈
(1)若1=a ,求)(x f 的极小值;
(2)是否存在实数,a 使)(x f 的最小值为3.
22. 如图,椭圆经过点,且离心率为. (I)求椭圆的方程;
(II)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同两点(均异于点),
问直线与的斜率之和是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。
{}n a 24a =4715a a +={}n a 22
n a n b n -=+12310b b b b +++⋅⋅⋅+22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>(0,1)A -2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ
高二数学文科 参考答案
一、 DCBAD AACCA C C
二、13.(1,4)--或(1,0) 14. 15.3 16.
三、解答题:(本题共6小题,17题10分,18-22每小题12分,共70分)
17.
e =
离心率 y
x =±渐近线方程: 18. 解:若方程210x mx ++=
有两个不等的负根,则212400
m x x m ⎧∆=->⎨+=-<
⎩,
所以2m >,即:2p m >.
若方程244(2)10x m x +-+=无实根,则216(2)160m ∆=--<,
即13m <<, 所以q :13m <<.
因为p q ∨为真,则,p q 至少一个为真,又p q ∧为假,则,p q 至少一个为假. 所以,p q 一真一假,即“p 真q 假”或“p 假q 真”.
所以213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213
m m ≤⎧⎨<<⎩ 所以3m ≥或12m <≤.
故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞.
19.【答案】(1) (2) 【解析】:(1)由2a sin B b 及正弦定理
,得sin A =. 因为A 是锐角,所以. (2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+c 2-bc =36.
又b +c =8,所以. .由三角形面积公式S =bc sin A ,得△ABC . 20. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(I )设等差数列的公差为.
由已知得, 1-=y 221x y -=π3
A =3sin sin a b A
B =2π3A =
283bc =12
2n a n =+2101{}n a d ()()11
143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩
解得.
所以.
【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法.
21.(1)
1,0)(,1
1
1)(,1,,==-=-=∴=x x f x x x x f a 则令
列表得:
13
1a d =⎧⎨=⎩()112n a a n d n =+-=
+
)(x f 的极小值是1. (2)x
ax x a x f 11)(,-=-= 当0)(1
,
≤≤x f e a 时,,所以)(x f 在(0,]e 单调递减,则)(x f 的最小值为 e a ae e f 4,31)(=
=-=,舍去. 当时,e
a 1>0)(),,1(,0)(),1,0(,,>∈<∈x f e a x x f a x ,则)(x f 的最小值为 2,3ln 1)1(e a a a
f ==+=. 综上,当 2e a =时)(x f 的最小值为3.
22. 【答案】(I) ; (II) 2 试题解析:(I)由题意知,综合,解得, 所以,椭圆的方程为. (II)由题设知,直线的方程为,代入,得 ,
由已知,设,
则, 从而直线与的斜率之和
. 2
212
x y +
=,12
c b a ==222a b c =
+a =2
212
x y +=PQ (1)1(2)y k x k =-+≠2
212
x y +=22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=0∆>()()1122,P x y Q x y 120x x ≠121222
4(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++AP AQ 12121211
1122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭
()
4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-
【考点定位】1.椭圆的标准方程;2.圆锥曲线的定值问题.。