解:此处n1
=
25,
n2
=
15,
s12
=
6.38,
s22
=
5.15, α
=
1
−
0.90
=
0.1, α
2
=
0.05
σ12/σ22的置信度 0.90 的置信区间为:
[ss1222
∙
Fα(n1
2
−
1 1,
n2
−
1)
,
s12 s22
∙
F1−α2 (n1
1 − 1,
n2
−
1)]
6.38
1
6.38
1
= [5.15 ∙ F0.05(24,14) , 5.15 ∙ F0.95(24,14)]
∴ λ̂1 = x
似然函数为
L(λ)
=
n
∏
i=1
λi xi
e−λ
=
x1!
λ ∑ xi x2! ⋯
xn!
e−nλ
lnL(λ) = (∑ xi) lnλ − nλ − ln(x1! x2! ⋯ xn!)
d
lnL(λ) dλ
=
∑ xi λ
−
n
=
0
解得λ 的极大似然估计为
λ̂2
=
1n n∑
xi
=
X
i=1
习题 7.2
1
1
5
11 5
E(μ̂2) = 3 E(x1) + 4 E(x2) + 12 E(x3) = 3 μ + 4 μ + 12 μ = μ
E(μ̂ 3)
=
1 3
E(x1)
+
1 6
E(x2)
+
1 2
E(x3)
=
1 3
μ
+
1 6
μ
+
1 2
μ
=
μ
∴ μ̂1, μ̂2, μ̂3都是 μ 的无偏估计.
1
9
1
1 9 1 19
(2) 未知标准差σ.
求直径均值μ 的置信度 0.95 的置信区间.
解: (1) x = 14.91, α = 1 − 0.95 = 0.05, u0.025 = 1.96
直径均值μ 的置信度 0.95 的置信区间为:
σ
σ
[x − uα , x + uα ]
2 √n
2 √n
0.15
0.15
= [14.91 − 1.96 ∗ , 14.91 + 1.96 ∗ ]
i=1
令
d lnL(θ) n n dθ = θ + ∑ xi = 0
i=1
解得
θ̂ 2
=
−
n ∑ni=1
xi
3. 设总体 X 服从参数为λ(λ > 0)的泊松分布, 试求 λ 的矩估计λ̂1和极大似然估计 λ̂2.(可参考例 7-8)
解: 由 X 服从参数为 λ 的泊松分布 ∴ E(X) = λ
由矩法,应有x = λ
tα(n − 1)s tα(n − 1)s
[x − 2
,x+ 2
]
√n
√n
2.2281 ∗ √0.5207
2.2281 ∗ √0.5207
= [43.4 −
, 43.4 +
]
√11
√11
= [42.915,43.885]
(2) S2 = 0.5207, α = 1 − 0.90 = 0.1, 查表知χ02.05(10) = 18.307, χ02.95(10) = 3.940
D(x2)
+
1 4
D(x3)
=
1 9
+
1 36
+
1 4
=
7 18
故μ̂ 2 的方差最小. 4. 设总体X~u(θ, 2θ), 其中 θ > 0 是未知参数, 又x1, x2, ⋯ xn为取自该总体的样品
, x为样品均值.
(1) 证明θ̂ = 2 x是参数 θ 的无偏估计和相合估计;
3
(2) 求θ 的极大似然估计. (1) 证:
习题 7.1 1. 设总体 X 服从指数分布
f(x; λ) = {λe−λ0x,,
x ≥ 0, λ > 0; x < 0.
试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取
18 个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):
16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280,
D(μ̂1) = 25 D(x1) + 100 D(x2) + 4 D(x3) = 25 + 100 + 4 = 50
1
1
25
1 1 25 25
D(μ̂2) = 9 D(x1) + 16 D(x2) + 144 D(x3) = 9 + 16 + 144 = 72
D(μ̂ 3 )
=
1 9
D(x1)
+
1 36
−∞
=
1
∫x
0
∙
θxθ−1dx
=
1
∫ θxθdx
0
=
θ
θ +
1
E(X)
=
x
=
θ
θ +
1
θ
的矩估计θ̂1
=
1
x −
x
(2)
n
似然函数为 L(θ) = ∏ θxiθ−1 = θn(x1,x2, ⋯ xn)θ−1
i=1
n
lnL(θ) = nlnθ + (θ − 1)[lnx1 + lnx2, ⋯ lnxn] = nlnθ + (θ − 1) ∑ lnxi
σ2置信度 0.90 的置信区间为:
(n − 1)s2 (n − 1)s2
10 ∗ 0.5207 10 ∗ 0.5207
[χ2α(n
2
−
1)
,
χ12−α2 (n
−
1)]
=
[
18.307
,
3.940
] = [0.284,1.322]
故������的置信度 0.90 的置信区间为[0.53,1.15]
8. 设两个正态总体N(μ1, σ2), N(μ2, σ2)中分别取容量为 10 和 12 的样本,两样本互
x2
+
1 2
x3;
(2)
μ̂ 2
=
1 3
x1
+
1 4
x2
+
5 12
x3
;
(3)
μ̂ 3
=
1 3
x1
+
1 6
x2
+
1 2
x3
都是μ的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
1
3
1
131
∵ E(μ̂1) = 5 E(x1) + 10 E(x2) + 2 E(x3) = 5 μ + 10 μ + 2 μ = μ
解: x = 4.7092, S2 = 0.0615. α = 1 − 0.95 = 0.05, 查 t 分布表知t0.025(11) = 2.2010
平均寿命μ 的 0.95 的置信区间为:
tα(n − 1)s tα(n − 1)s
[x − 2
,x+ 2
]
√n
√n
= [4.7092 − 2.2010 ∗ √0.0615 , 4.7092 + 2.2010 ∗ √0.0615]
0, 其他
似然函数
1 L(θ) = {θn , 0 ≤ xi ≤ 2θ (i = 1,2, ⋯ n)
0, 其他
因对所有xi有 0 ≤ xi ≤ 2θ (i = 1,2, ⋯ n) ∴ 0 ≤ max{x1, x2, ⋯ xn} ≤ 2θ
习题 7.3
1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强
√9
√9
≈ [14.812,15.008]
(2)x = 14.91, S2 = 0.041, α = 1 − 0.95 = 0.05, t0.025(8) = 2.306 置信度 0.95 的置信区间为:
tα(n − 1)s tα(n − 1)s
[x − 2
,x+ 2
]
√n
√n
= [14.91 − 2.306 ∗ √0.041 , 14.91 + 2.306 ∗ √0.041]
340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100.
求λ的估计值.
解:
n
似然函数为 L(λ) = ∏ λe−λxi = λne−λ ∑ni=1 xi
i=1
n
lnL(λ) = nlnλ − λ ∑ xi
i=1
令
d lnL(λ) n n dλ = λ − ∑ xi = 0
1 = [1.24 ∗ 2.35 , 1.24 ∗]
4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:毫米)如
下:
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8
设滚珠直径服从正态分布,若
(1) 已知滚珠直径的标准差σ = 0.15毫米;
√12
√12
= [4.5516 , 4.8668]
3. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径 X,Y 分别服从