Mathematical Methods in Physics
第八章 分离变量法 The Method of Separation of Variables
武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University
分离变量法习题课 *本章内容小结 *典型例题分析
一、正交曲线坐标系中的分离变量 二、齐次方程、齐次边界条件的定解问题 三、非齐次边界条件的定解问题
<1> <2> <3> <4> <5> <6>
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习题课
二、齐次问题
解： ① 令 u ( x, y , z; t ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z )T (t ) ⎧T ′′ − a 2 μT = 0 <7> ⎪ <8> 其中( μ = α + β + γ ) ⎪ X ′′ − αX = 0 <1> → ⎨ <9> ⎪Y ′′ − β Y = 0 ⎪Z ′′ − γZ = 0 <10> ⎩
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习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
⎧ (8) → ⎨ ⎩(11) ⎧ (9) → ⎨ ⎩(12) ⎧(10) → ⎨ ⎩(13)
⎧ (7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ α1′ ⎪ εA1 = − E − 2 (11) ⎪ A1a = − Ea + (8) a a ⎪ ⎪ ′ ⎨ εA a n −1 = − α n (12) ′ ⎨ A an = αn (9) ⎪ n n ⎪ n a n +1 a ⎪ ′ βn ⎪ n −1 ′ βn n ⎪εBn a = − n +1 (13) (10) ⎪ Bn a = n a ⎩ a ⎩ 2E ε −1 2 ′= , α1 A1 = − a E 2 Eρ I 1+ ε ε +1 u (ρ ,ϕ ) = − cos ϕ 1+ ε ′ An = 0, α n = 0 ε −1 a2 u II ( ρ , ϕ ) = −( ρ − ) E cos ϕ ε +1 ρ ′ Bn = 0, β n = 0
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
1、求圆环的狄氏问题 ⎧ Δ u = 0 , ( r2 < r < r1 ) ⎪ ⎨u ( r1 , θ ) = sin θ ⎪u ( r , θ ) = 0 ⎩ 2 ①令： u ( r , θ ) = R ( r ) Θ (θ ) <1> <3>
由 u (r1 , θ ) = sin θ 有： α n = 0; β n = 0, n ≠ 1
r1 β1 = 2 2 r1 − r2
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r1 r − r2 u (r ,θ ) = 2 ⋅ sin θ 2 r r1 − r2
2 2
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
2、求解扇形区域中的狄氏问题：
3、在均匀电场E中，垂直于电场方向放入半径为a的无限长 直圆柱电介质，介电常数为 ε ,求柱内外的电场。 ∂u 【分析】 在介质圆柱未放入前： = − E → u = − Eρ cos ϕ + c ∂x [设 u (0, ϕ） 0] = → u = − Eρ cos ϕ u ( ρ , ϕ ) ρ →∞ = − Eρ cos ϕ 在介质圆柱放入后：
(7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ A1a = − Ea + (8) a ⎪ ′ ⎨ A an = αn (9) n ⎪ n a ⎪ ′ βn n (10) ⎪ Bn a = n a ⎩
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
∂u I ε ∂ρ
∞
∂u II ρ =a = ∂ρ
n =1
′ ′ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ − n u
II
∞
ρ →∞
= − Eρ cos ϕ →
n =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 0 = 0, β 0 = 0; α n = 0(n ≠ 1), β n = 0; α1 ρ = − Eρ → α1 = − E
′ ′ u ( ρ , ϕ ) = − Eρ cos ϕ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ )ρ − n
n =1
u ( x, t ) = 3 cos at sin x
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二、齐次问题
2、求下列高维波动问题的解：
⎧utt = a 2 Δu , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 , 0 < z < 1 ⎪ ⎪u( x, y, z;0) = sin πx sin πy sin πz ⎪ut ( x, y, z;0) = 0 ⎪ ⎨ ⎪u(0, y, z; t ) = u(1, y, z; t ) = 0 ⎪u( x,0, z; t ) = u( x,1, z; t ) = 0 ⎪ ⎪u( x, y,0; t ) = u( x, y,1; t ) = 0 ⎩
ρ =a
( 4)
ε ∑ ( An na n −1 cos nϕ + Bn na n −1 sin nϕ ) n =1 ∞ ′ ′ αn βn = − E cos ϕ − ∑ n（ n +1 cos nϕ + n +1 sin nϕ ) a a n =1 ⎧ ⎪ α1′ ⎪ εA1 = − E − 2 (11) a ⎪ ′ ⎨ εA a n −1 = − α n (12) ⎪ n a n +1 ⎪ ′ βn n −1 ⎪εBn a = − n +1 (13) a ⎩
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<1> <2> <3> <4> <5> <6> <3>*
⎧ Θ ′′(θ ) + m 2 Θ = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪ r R ′′ + r R ′ − m 2 R = 0 ⎩
R(r2 ) = 0
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
②解
⎧ Θ ′′(θ ) + m 2 Θ = 0 ⎨ ⎩ Θ (θ + 2π ) = Θ (θ )
(3)
(2)
ρ =a
( 4)
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
A0 ∞ 【求解】 u I ( ρ , ϕ ) = + ∑ ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ) ρ n 2 n =1
II ∞ ∞n =1
(5)
u ( ρ , ϕ ) = (C0 + D0 ln ρ ) A0 + ∑ ( An cos nϕ + Bn sin nϕ )(Cn ρ n + Dn ρ − n ) = (α 0 + β 0 ln ρ ) + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ n
n=1
∞
∞
nπ β −α
nπ sin (ϕ − α ) 由式<3>，得： f (ϕ ) = ∑Cn a β −α n=1 −nπ 2 β nπ β −a ∴ Cn = a ∫α f (ϕ)sinβ −α (ϕ −α)dϕ β −α
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nπ β −α
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
③求解<5> ρ R′′ + ρR′ − μR = 0
2
nπ 2 μ =[ ] β −α nπ
因为ρ < a Rn ( ρ ) = bρ
④
μ
= bn ρ β −α
nπ sin (ϕ − α ) β −α
u(ρ ,ϕ ) = ∑Cn ρ
2 l nπ 2 l nπ An = ∫ ϕ (α ) sin αdα , Bn = ∫0ψ (α ) sin l αdα 0 l l nπa
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二、齐次问题
1、求解
解：u ( x, t ) =
∑(A
n =1
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < π , t > 0 ⎪ ⎪u ( x,0) = 3 sin x ⎫ ⎨ ⎬,0≤ x ≤π ⎭ ⎪ut ( x,0) = 0 ⎪u (0, t ) = u (π , t ) = 0; ∞ ⎩
II n =1 ∞
(6)
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一、正交曲线坐标系中的分离变量
I 【求解】 u
= u II ρ =a
ρ =a
(3)
A0 ∞ + ∑ ( An a n cos nϕ + Bn a n sin nϕ ) 2 n =1 ∞ ′ ′ αn βn = − Ea cos ϕ + ∑ ( n cos nϕ + n sin nϕ ) a n =1 a
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二、齐次问题
【公式】
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < l ⎪ ⎨u x =0 = 0, u x =l = 0 ⎪ u = ϕ ( x ), u t t =0 = ψ ( x ) ⎩ t =0
∞
(1) (2) (3)
(11)
(12)
nπ a nπ a nπ u(x, t) = ∑ (An cos t + B n sin t)sin x l l l n =1