欧拉公式:
可以证明级数
ei cos i sin
1 n z n!
1 2 e = 1 z z 2!
z
在整个复数范围是绝对收敛的
Z=iy
1 1 2 e 1 iy (iy ) (iy )3 2! 3! 1 2 1 4 1 3 1 5 (1 y y ) i ( y y y 2! 4! 3! 5! cos y i sin y
z1 z2 z2 z1
结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 分配律
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
小结：复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。
z x iy
Im z= (z-z*)/(2i)
12
三角(指数）式：几何描述
虚轴 i
y
复平面
z

y=

0
x
复数 z 从几何上看，复数又是平 面上的一个矢量， 为矢量长度， i 为幅角。记 z e
x= z=x+iy= (
实轴
模：
x2 y 2 z
)=
0 Arg z 2 , Arg z , 幅角主值：
虚轴
y
复平面
Z=x+yi y
x
0
x 0
x
实轴
复数的本质：有序实数对 (x, y) 实数的推广：有序实数对 (x, 0) (x, y)
纯虚数
：有序实数对 (0, x) x不等于 0
11
复数 ：i2 = −1？
i
扩张y X轴
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1) i “=” 逆时针旋转90度 复数相等：两复数的实部和虚部分别相等 复数的共轭： z* x iy Re z= (z+z*)/2;
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 1 i (1 2 ) i 2 e 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2 2
z1 z2 z1 z2
幂（n整数） 根
n n
z e
n
n in
z e
i / n
y0 逼近 z z0 x x0 , y 21
20
z1 z2 z1 z2
z1 x1 iy1 ,
z2 x2 iy2
加法 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) 减法 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) 乘法 除法
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
所有的无穷大复数（平面上无穷远点）投影到唯一的 北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其 模无穷大，幅角无意义。
18
扩充复平面的一个几何模型就是复球面
关于新“数”∞还需作如下几点规定：
(1) ∞的实部，虚部及幅角都无意义，
(2)b≠0(但可为∞)时， b b , b ;
－1
x －i
x0 2 2 ( x 1) y 2
2 2
x0 或 2 2 ( x 1) y 2
注意到 ( x 1) y 2 是以（－1，0）为圆心，以 2 为半径的 圆周，所以满足题给条件的是图 1.10 中灰色的部分. 根据题给辐角不 等式，对于 x 0 ，其辐角不满足要求.
ln(a bi) ln a 2 b2 i( 2k )
sin b / a2 b2
y 2 cos x 和
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：
y e
1x
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
2 4
没有意义。这是历史上首次形式上出现负数的平方根。
4
1545年, 意大利数学家卡丹(G. Cardano,1501-1576) 在《大术》
中提出“把10分为两部分, 使其乘积为40”的问题,并给出
40 (5 15)(5 15)
卡丹公式
x ax b
3
2 3 2 3 b b a b b a x3 3 2 4 27 2 4 27
9
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算 复数的分类 正整数（自然数） 整数 有理数 实数 复数
x yi
y0
零 负整数
分数 无理数 纯虚数 （ x 0, y 0 ）
虚数
y0
非纯虚数 （ xy 0 ）
10
第一章 复变函数
虚数合理化：
1.1 复数与复数运算
一维实数R 二维实数 C={(x,y)}
w1
y y w1 y
w1
w0 w3
w2
n=3
1 w 2
1
w3
x
w3
n=4 图 1.4
w4
w5
n=6
23
例：不等式 0 arg
z i π zi 4
所确定的点集
注意到，在 (0, π / 4) 的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等 式两边均取正切得到
y
0
由此得到
2 x 1 2 2 x y 1
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
小结：复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。
16
（二）无限远点
复平面的无限远处看成
一个“点”----无限远
点 模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应
模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（无限远点）
5
经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论
8
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算
（一）复数(complex number,集合为：C)的基本概念 复数（代数形式）：
z = x + i y = x 1+ y i
x, y:实数，x—实部（Real part, 简称 Re z ) y—虚部 (Imaginary part，简称 Im z ) 1：实数单位 1*1=1 i：虚数单位 i*i = -1
wk n 1 e
i 2 kπ n
k 0,1, 2,…, n 1
当 n=2 时， 其根为 1 . 对应于单位圆与实轴 22 的两交点.
当 n 3 时，各根分别位于单位圆 z 1的内接正多边 形的顶点处，其中一个顶点对应着主根： w 0 1 , (k 0 ) . 图(1.4)表示当 n=3,4 和 6 时根的位置分布情况.
等广泛的应用。
2
第一篇 复变函数论
复变函数论（complex functions）：
研究自变量是复数的函数理论及应用，主要研究解析函数。
自然数，整数，小数， 分数，有理数，无理数，… 实数
？
复数
实(变)函数 ？ 复(变)函数
3
复函数发展简史
1
复数起源于代数方程求根
16世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了 虚数，给出了虚数的符号和运算法则。 1484年, 法国数学家舒开(N. Chuquet, 1445—1500) 在《算术三编》中指出二次方程 4 x2 3x 的根 x 3 9 4
a , 0, (3)a≠∞时， a
0
a a ;
无意义
19
0 (4)运算∞± ∞，0· ∞， , 0
（三）复数的运算 定理： 两个复数相乘，其模等于它们模的乘积， 其幅角等于它们幅角的和。 复数的运算服从规律: 交换律
z1 z2 z2 z1
arg z Arg z 2k
( z 0, ; k 0,1,2,...)
注：arg ：argument (幅角、宗量，自变量） 复共轭
z* x iy ei
13
arg (z) 性质：
arg( z*) arg ( z ) arg(z z ) arg(z ) arg(z ) 1 2 1 2 arg(1 / z ) arg ( z )
5
由于 1 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到19世
纪中叶，这类数仍然是不合法的。 法国的笛卡尔（R.Descartes,1596-1690）在1637年《几 何学》中称其为虚数(“虚幻数” imaginary number) 2 Bernoulli和Leibniz的争论 1712~1713
与卡丹同时代的意大利数学家邦贝利(R.Bombelli,约1526— 1573) 是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。他在
《代数》中建立了虚数运算法则。
如对于 x3 15x 4 邦贝利发现有一个根 x 4
x 3 2 11 1 3 2 11 1
他证明了 3 2 11 1 2 1
4. 王友年等《数学物理方法》，大连理工大学出版社
1
课 程 框 架
数学方法（抽象）
物理 (原理，现象，规律等）
物理模型：数学物理方程 数学物理方法 特色：数学与物理的交叉 内容：复变函数论、数学物理方程与方法、特殊函数 意义：应用数学知识解决实际物理和工程方面的问题，在物理
学、电动力学、量子力学、弹性力学、流体力学、电子工程技术
1743年，发表了Euler公式


1x


欧拉像使用实数一样有效地使用复数,数学家们也因此对复数产 生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复 数,但无论欧拉还是别的数学家对这些数都还不甚清楚。