2017 / 2018学年《高等数学A1，B1》期末考试试卷A试卷号：A20180115（注意：所有答案必须写在答题卡上，在试卷上作答无效）一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1． 下列数列}{n x 中，收敛的是--------------------------------------------- ( ) (A) nn x n n 1)1(+-= (B) 1+=n n x n (C) 2sinπn x n = (D) n n n x )1(--=2． 设函数x x x f ln )(=， 则)(x f ------------------------------------------（ ）(A) 在内单调减)1,0(e(B) 在内单调减，)1(∞+e(C) 在(0,)+∞内单调减 (D) 在(0,)+∞内单凋增3． 已知2()d e x f x x C -=+⎰（C 为任意常数），则()f x =---------------（ ） (A) 2e x - (B) 22e x --(C)212e x- (D) 24e x -4． 若反常积分11d px x+∞⎰收敛，则p 应满足----------------------------------------（ ） (A) 0p =(B) 1p =(C) 1p <(D) 1p >5． 设()f x 在[,]a b 上连续，令1|()|d b aI f x x =⎰，2|()|d b aI f x x =⎰，则--（ ） (A) 12I I >(B) 12I I ≥(C) 12I I <(D) 12I I ≤二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）6． 函数()arcsin(1)f x x =-的定义域用区间表示为_________．7． 若1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a =_________．8． 设a x a y x a a =++（1a >为常数），则()d d y x =．9． 定积分1221(sin )d x x x x -+=⎰ ．10． 已知曲线)()(:b x a x f y L ≤≤=，其中()f x 具有连续的导数，则L 的弧长s =__________________．三、解答题（8小题，每小题6分，共48分）11． 求极限：30tan lim x x xx→-． 12． 求不定积分：3sin d x x ⎰．13．求定积分：41x ⎰． 14． 求函数42()82f x x x =-+在区间[1,3]-上的最大值与最小值． 15． 点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求常数,a b 的值．16． 求函数22132x y x x -=-+的间断点，并指出间断点的类型．17． 求双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程与法线方程． 18． 利用对数求导法求函数()1x x y x =+的导数d d yx．四、分析题（本题满分7分）19．已知函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩α()R ∈α，讨论函数()f x 在0x =处的连续性与可导性．五、应用题（本题满分10分）20． 设曲线2y x =和3y x =所围平面图形为 D ，求（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、证明题（本题满分5分）（注：以下两个证明题任选一题，多做无效．）21（1）． 设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程2()d 1xx f t t -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根．21（2）．设()f x 在[0,1]上连续，证明：220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰ππ．2017 / 2018学年《高等数学A1，A2》期末考试试卷A 答案一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1． 下列数列}{n x 中，收敛的是--------------------------------------------- ( B ) (A) nn x n n 1)1(+-= (B) 1+=n n x n (C) 2sinπn x n = (D) n n n x )1(--=2． 设函数x x x f ln )(=，则)(x f -------------------------------------------（ A ）(A) 在内单调减)1,0(e(B) 在内单调减，)1(∞+e(C) 在(0,)+∞内单调减 (D) 在(0,)+∞内单凋增3． 已知2()d e x f x x C -=+⎰（C 为任意常数），则()f x =---------------（ B ） (A) 2e x - (B) 22e x --(C)212e x- (D) 24e x -4． 若反常积分11d px x+∞⎰收敛，则p 应满足----------------------------------------（ D ） (A) 0p =(B) 1p =(C) 1p <(D) 1p >5． 设()f x 在[,]a b 上连续，令1|()|d b aI f x x =⎰，2|()|d b aI f x x =⎰，则--（ D ） (A) 12I I >(B) 12I I ≥(C) 12I I <(D) 12I I ≤二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 6． 函数()arcsin(1)f x x =-的定义域用区间表示为[0,2]．7． 若1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a =_2____．8． 设a x a y x a a =++（1a >为常数），则1(ln )d d a xy ax a a x -=+．9． 定积分12212(sin )d 3x x x x -+=⎰． 10． 已知曲线)()(:b x a x f y L ≤≤=，其中()f x 具有连续的导数，则L 的弧长as x =⎰．三、解答题（8小题，每小题6分，共48分） 11． 求极限：30tan limx x xx→-． 解：23200tan sec 1lim lim 3x x x x x x x→→--= ------3分222200tan 1lim lim 333x x x x x x →→===． ------6分 12． 求不定积分：3sin d x x ⎰．解：322sin sin sin sin d d dcos x x x x x x x =⋅=-⎰⎰⎰------3分231(cos 1)cos cos 3dcos x x x x C =-=-+⎰------6分 13．求定积分：41x ⎰．解法一：44112ln x x =⎰⎰ ------2分4411]2x x =-⎰------4分418ln 28ln 24=-=-． ------6分t =，则2,2,:14,:12d d x t x t t x t ==→→ ------2分2422111ln 24ln d d t x t t t t t ==⎰⎰⎰ ------4分22114[ln ]418ln 24d t t t =-=-⎰------6分14． 求函数42()82f x x x =-+在区间[1,3]-上的最大值与最小值． 解：32()4164(4)f x x x x x '=-=- ------2分 令()00,2,2f x x x x '=⇒===-（舍）．(0)2,(2)14,(1)5,(3)11f f f f ==--=-=． ------5分故函数()f x 区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为11和-14，即max min 11,14f f ==-．------6分15． 点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求常数,a b 的值． 解：232,62y ax bx y ax b '''=+=+， ------2分由题意知：(1)3(1)620y a b y a b =+=⎧⎨''=+=⎩ ------5分解方程组得39,22a b =-= ------6分 16．求函数22132x y x x -=-+的间断点，并指出间断点的类型．解：221(1)(1)32(1)(2)x x x y x x x x --+==-+--，故间断点为1,2x x == ------2分因为11(1)(1)lim lim2(1)(2)x x x x y x x →→-+==---，故1x =为函数的第一类可去间断点；------4分因为22(1)(1)lim lim(1)(2)x x x x y x x →→-+==∞--，故2x =为函数的第二类无穷间断点；------6分17．求双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程与法线方程． 解：21y x '=-，故点(1,1)处切线斜率点1k =-切，法线斜率1k =法． ------4分 切线方程为 1(1)y x -=--，即2x y +=；------5分 法线方程为 11y x -=-，即y x =． ------6分18． 利用对数求导法求函数()(0)1x x y x x =>+ 的导数d d y x ． 解：两边取对数得ln ln()ln [ln ln(1)]11x x xy x x x x x x===-+++， ------2分两边关于自变量x 求导，y 是x 的函数，得111[ln ln(1)]()ln 1)11y x x x x y x x x x'=-++-=++++ ------5分 故d 1()(ln )d 111x y x x x x x x=++++ ------6分 四、分析题（本题7分）19．已知函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩α()R ∈α，讨论函数()f x 在0x =处的连续性与可导性． 解：（1）连续性当0>α时，001lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→===α；当0≤α时，001lim ()lim sin x x f x x x →→=α不存在，故0>α时，()f x 在0x =处连续，0≤α时，()f x 在0x =处不连续．------4分（2）可导性当1>α时，10001sin()(0)1(0)lim lim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x-→→→-'====αα； 当1≤α时，10001sin()(0)1(0)lim lim lim sin x x x x f x f x f x x x x-→→→-'===αα不存在， 故1>α时，()f x 在0x =处可导，1≤α时，()f x 在0x =处不可导．------7分五、应用题（本题满分10分）20． 设曲线2y x =和3y x =所围平面图形为 D ，求（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：（1）交点（1，1）， 面积123111()d 3412A x x x =-=-=⎰． ------5分 （2）112232()d ()d x V x x x x =-⎰⎰ππ25735=-=πππ------10分六、证明题（本题满分5分）注：以下两个证明题任选一题，多做无效．21（1）． 设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程2()d 1xx f t t -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根． 证明：（i ）存在性令 0()2()d 1xF x x f t t =--⎰，显然()F x 在[0,1]上连续，且11(0)10,(1)1()d 11d 0F F f x x x =-<=->-=⎰⎰，即(0)(1)0F F ⋅<．故()F x 在[0,1]上满足零点定理，故至少存在一点(0,1)∈ξ，使得()0F =ξ，即方程02()d 1x x f t t -=⎰ 在(0,1)内至少有一个实根． ------3分（ii ）唯一性因为()2()10F x f x '=->>，所以()F x 在[0,1]上单调增加，故()0F x =在(0,1)内至多有一个实根．综上，()0F x =在(0,1)内仅有一个实根，即方程02()d 1xx f t t -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根． ------5分21（2）．设()f x 在[0,1]上连续，证明：220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰ππ．证明：令2x t =-π，则d d ,x t =-当:02x →π时，:02t →π， ------2分左边0202(sin )d [sin()]d 2f x x f t t ==--⎰⎰πππ220(cos )d (cos )d f t t f x x ===⎰⎰ππ右端． ------5分。