反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。

一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。

难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。

温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。

它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。

这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。

于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。

奇迹是执着者造成的。

二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|三、专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。

第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。

如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。

考点二已知反比例函数解析式，求图形的面积【例2】（1）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ B ）A ．B．C． D．分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。

对于A：S=4，对于B ：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=，对于C：S=4，对于D ：S=4 故选（B）（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3 ∴S1=S2=2 S1+S2=4评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。

考点三利用点的坐标及面积公式求面积【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积..解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=（2）∵B点的横坐标为-4，∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2)∵点A（-2，4）、点B（-4，2）在直线y=kx+b上∴4=-2k+b 且2=-4k+b解得k=1 b=6∴直线AB为y=x+6与x轴的交点坐标C（-6，0）∴S==12评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。

难度属中档题。

考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题【例4】已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄y榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示） 分析：∵x,y 为正整数，∴x=1,2,4,8,16 即A 、B 、C 、D 、E 五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x 对称，故有S==13π-26如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .分析：因为圆心A 中的非阴影部分与圆B 中的阴影部分为对称图形，圆A 中的阴影部分与圆B 中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。

设圆A 的圆心A 的坐标为(x,y)，由图可知，x=y∵A 点在反比例函数图象上，∴ 解得x=1从而所求面积为π评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。

四、 巩固练习： （1） 选择题1、反比例函数xky =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ）D (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-42、（四川绵阳）若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数xy 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）DA ．b 1＜b 2B ．b 1 = b 2C ．b 1＞b 2D ．大小不确定 3、（福建龙岩）函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）B（2） 填空题xy O A ．xyOB ．xyO C ．xyO D ．4、（湖北潜江）如图，反比例函数xy 5=的图象与直线)0(>=k kx y 相交于B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位. 10（3）解答题5、如图 所示，反比例函数y kx=的图象经过点()A b -3，，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，△AOB 的面积为3。

（1）求k 和b 的值； （2）若一次函数y a x =+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AB ：OM 的值。

分析：以面积为突破口，可求出A 点纵坐标b 和系数k ，结合A 点的双重特性（A 点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。

解：（1）∵AB ⊥BO ，A 点坐标为()-3，b ∴·即·∴又∵点在双曲线上∴△S AB BO b b A y k xk AOB ==-====⨯-=-123123322323||()（2）∵点A 在直线y a x =+1上 ∴231=-+a ∴a =-33∴y x =-+331当y=0时，x =3所以M 点的坐标为()30，∴：：AB OM =23点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。

6.如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A （-2，1），B （•1，n ）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，一直线L 经过点C （1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分． （1）求直线L 的函数解析式；（2）若直线L 将△AOB 的面积分成1：3两部分，求直线L 的函数解析式．五、拓展训练已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0<x<3(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（由四边形OADM的面积为6得3+6+3=3t 解得t=4故点M为（D点为（3，4）从而M点为BD中点，BM=DM评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问题。

三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）1、已知正比例函数y k x =与反比例函数y x=3的图象都过Am ()，1，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。

分析：由A 点坐标满足y x=3可求得m 值，再将A 点坐标代入y k x =可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。

解：因y x =3图象过Am ()，1，即13=m，故m=3，即A （3，1） 将A （3，1）代入y k x =，得k =13所以正比例函数解析式为y x =13联立方程组得y x y x x y x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩31331311122，解得或 ∴另一交点坐标为（--31，） 点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。