P y N O x
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练习 由解析式求图形的面积
3 2.如图,点A、B是双曲线 y 上的点，过点A、 x
B两点分别向x轴、y轴作垂线，若S阴影=1， 4 则S1+S2= ________. 2
y A
S1
B
S2
O x
2
2 变式：如图，过反比例函数 y ( x 0) 图象上任意两 x
练习 由解析式求图形的面积
线 于A、B 两点，连接OA、OB，则△AOB 的面 1.5 y 积为 .
A B
O
x
当堂检测 4.在双曲线 y k (x>0)上任一点分别作x轴、 y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，
12 12 y 或y 则函数解析式为______________. x x
x
y
O
x
当堂检测
1 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为____.
y
P
o
D
x
练习 由图形的面积求解析式 4.如图,点P是反比例函数图象上的一点,且 PD⊥x轴于D.如果△POD面积为3，则这个反 6 y= x 比例函数的解析式为________. y P O D x
练习 由图形的面积求解析式
分类讨论
一变： 点P是反比例函数图象上的一点, 如图， 且PD⊥x轴于D.如果△POD面积为3，则这个 6 6 y = x 或y =- x 反比例函数的解析式为_________________. y P O D x
A
A.S=1
B.1<S<2
C.S>2
D.S=2
∟
O
B
∟
D
C
x
反比例函数中的面积问 题
以形助数 用数解形
一个性质：反比例函数的面积不变性
两种思想：分类讨论和数形结合
下课了 !
诲 人 不 倦
•悟性的高低取决于有无悟“ 心”,其实,人与人的差别就在 于你是否去思考, 去发现，去 总结。
1 3 5.如图，A在双曲线 y 上，点B在双曲线 y x x
上，且AB∥x轴，C、D在x 轴上，若四边形 ABCD的面积为矩形，则它的面积为 2 .
E
O
当堂检测
2 6.如图，在反比例函数的图象 y (x>0)上，有 x
点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别 过这些点作x轴，y轴的 y 垂线，图中所构成的阴 影部分的面积从左到右 依次为S1，S2，S3，
2
3
当堂检测
1 2 2.双曲线 y 与y 在第一象限内的图象如 x x 图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲
线于A、B 两点，连接OA、OB，则△AOB 的 面积为 0.5 .
y A
B
O
x
当堂检测
1 2 3.双曲线 y 与y 在x轴上方的图象如图 x x 所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲
k y x
O
x
总结
k y (k 0) 面积不变性 x
y P A 0 B
y P
x
0
Q
x
S矩形 k
k S三角形 2
注意：（1）面积与P的位置无关
（2）在没图的前提下， 须分类讨论
练习 由解析式 求图形的面积 3 1.如图,点P是反比例函数 y=- x 图象上的一点, 过点P分别向x轴、y轴作垂线,则阴影部分面 积为_____. 3
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面
B
O
P(m,n)
A x
积S为定值，即S=|k|.
思考 图中的这些矩形面积相等吗？ 结论： 图中的这些矩形面积相 y
k y x
等，都等于|k|
O
x
探究2
k 如图,点P(m,n)是反比例函数 y 图象上 x
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，则
y A D B
E
o
C
x
当堂检测
2 变式二：如图，双曲线 y x ( x 0) 经过四边形
OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分 OA与x轴正半轴的夹角， AB∥x轴，将△ABC沿 AC翻折后得到△AB'C， E B'点落在OA上，则四边 形OABC的面积是 2 .
D
当堂检测
D
y
反比例函数的应用 ——与面积有关的问题
探究1 象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂
k 如图,点P（m，n）是反比例函数 y 图 x
|k| 足分别是点A、B，则S矩形OAPB=________. ( 2)过P分别作x轴, y轴的垂线 垂足分别为 , B, , A
则结论1： OA AP | m | | n || k | (如图所示 S矩形OAPB ).
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF 2 的面积为2，则k＝_____.
当堂检测 变式一：如图，双曲线
y k (k 0) 经过矩形OABC x
的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC
的面积为3，则双曲线的解析式为（ B ）
6 1 2 3 A．y B．y C． y D． y x x x x
C A B x
O
例题讲解 例1. 如图，正比例函数 y kx (k 0)与反比例函
1 数 y 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴 x
的垂线交x轴于B，连结BC，则 ABC 面积S 为多少？
例题讲解
1 例1. 如图，正比例函数 y kx (k 0)与反比例函数 y x
的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴
2 y （x>0) x
P1
则S1+S2+S3=________. 1.5
O
P2
P3 P4
1
2
3
4
x
当堂检测
2 7.如图，双曲线 y （x＞0)的图象经过矩形 x OABC对角线的交点D，则矩形OABC的面
8 积为————
。
F E
当堂检测
k 8.如图，已知双曲线 y (x＞0)经过矩形OABC x
k
S△PAO=________. 2
y
B
P(m,n)
O A
x
思考1 如果是向y轴作垂线,垂足是点B， 则S△PBO的面积是_____ . 2 y 结论2： 过双曲线上任意一点作x轴 (或y轴）的垂线，所得直 角三角形的面积S为定值， 1 即S= |k| . 2
k
B
P(m,n) x
O A
思考2 图中的这些三角形面积相等吗？ 结论： 图中的这些三角形面积 1 相等，都等于 |k| 2 y
D
例题讲解
m 例2：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x
A(1，8 ) 和B (4，n)，
求：⑴这两个函数的解析式；
⑵三角形⊿AOB的面积。
y
A B
o
x
例题讲解
当堂检测
4 1.双曲线 y1 和y2在第一象限的图像如图，过 x
y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于B ，交y 6 y= x 轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是_______．
练习 由图形的面积求解析式
二变：如图，A是反比例函数图象上一点，过
点A作AB⊥y轴于点B,点P在x轴上，△ABP的 6 y= x . 面积为3，则这个反比例函数的解析式为 y 同底等高的两个三角形
B A
的面积相等.
P O x
练习 由图形的面积求解析式 三变：如图，已知点A在反比例函数的图象上， AB⊥x轴于点B，点C为y轴上的一点，若△ABC 6 y= x 的面积是3，则反比例函数的解析式为______． y
于B，连结BC，则 ABC 面积S为多少？
解：因为点A与点C关于原点中心对称， 设A（x,y），则C(-x,-y),过C点做CD ⊥x轴,垂足为D.
S ABC S AOB S BOC
1 1 1 1 S AOB OB AB xy | k | 2 2 2 2 1 1 1 1 S BOC OB CD x y | k | 2 2 2 2 1 S ABC 2 1 2
点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA 、OB，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB的 面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 ( B ) A．S1>S2 B．S1=S2 C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
练习 由解析式 求图形的面积
2 3.如图,点P是反比例函数 y x 图象上