基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n(ΛN *；2）)0(10≠=a a ；n 个 3）∈=-p aa p p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；3）1log=aa；4）对数恒等式：Na N a=log。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log+=；2）NMNMaaalogloglog-=；3）∈=nMnMana(loglog R）④换底公式：),,1,0,0,0(logloglog>≠>≠>=NmmaaaNNmma1）1loglog=⋅abba；2）bmnbana mloglog=。

2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=aaay x且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a时函数为减函数，当1>a时函数为增函数。

②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10<<a时，图象向左无限接近x轴，当1>a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(≠>aaa且，函数xx ayay-==与的图象关于y轴对称③函数值的变化特征：10<<a1>a①10<<>yx时，②10==yx时，③10><yx时①10>>yx时，②10==yx时，③10<<<yx时，（2）对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数 ②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x yx y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

③函数值的变化特征：（3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限10<<a 1>a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><<y x 时. ①01>>y x 时，②01==y x 时，③100<<<y x 时.四．【典例解析】 题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--。

解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； （2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．（1）已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x-+=，∴129x x -++=， ∴17x x-+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 .答案 13例3．计算（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；（3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅解：（1）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b +-+++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值。

证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab+-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=， ∴30a b c -++=……………①由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b abf 解得即 从而有.212)(1a x f x x++-=+ 又由aa f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得 解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x x x f 又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t k t t t t t即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-ktt tttk t整理得12232>--kt t ，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得例6．（2008广东 理7）设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae =+=有正根。