微专题12
例题1
证法1如图1，在四棱锥PABCD中，
取线段PD的中点M，连接FM，AM.
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，
且FM＝1
2CD.
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且EA＝1
2CD.所以
FM∥EA，且FM＝EA.
所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.
又AM平面PAD，EF平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
证法2如图2，在四棱锥PABCD中，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN.
因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.
所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，
所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.
又F为PC的中点，所以EF∥NP.
又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.
证法3如图3，在四棱锥PABCD中，取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD 中，E为AB的中点，
所以AE＝DQ，且AE∥DQ.
所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.
又AD平面PAD，EQ平面PAD,
所以EQ∥平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点，
所以FQ∥PD.
又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ∥平面PAD.
又FQ，EQ平面EQF，FQ∩EQ＝Q，
所以平面EQF∥平面PAD.
因为EF平面EQF，所以EF∥平面PAD.
(2)在四棱锥PABCD中，设AC，DE相交于点G(如图4)．
在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E 为AB的中点．
所以
DA
AE＝
CD
DA＝2，
又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，
所以∠ADE＝∠DCA.
又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，
所以∠DCA＋∠CDE＝90°.
由△DGC的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.
即DE⊥AC.
因为点P在平面ABCD内的正投影O 在直线AC上，
所以PO⊥平面ABCD.
因为DE平面ABCD，所以PO⊥DE.
因为PO∩AC＝O，PO，AC平面PAC，
所以DE ⊥平面PAC ， 又DE 平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE.
变式联想
变式1
证明：(1)因为E ，F 分别是A 1D 1，B 1C 1
的中点，所以EF ∥A 1B 1，
在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ，
所以EF ∥AB.
又EF 平面ABHG ，AB
平面ABHG ，
所以EF ∥平面ABHG.
(2)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，
又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD.① 设BH ∩CF ＝P ，△BCH ≌△CC 1F ，所以∠HBC ＝∠FCC 1，因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°.
所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.② 由①②，又DC ∩CF ＝C ，DC ，
CF 平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED.
又BH 平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED. 变式2
证明：(1)如图，连接MN ，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，
AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，则四边形AA 1C 1C 是平行四边形，因为点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，
所以MN ∥AA 1且MN ＝AA 1， 又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中AA 1∥BB 1
且AA 1＝BB 1，
所以MN ∥BB 1且MN ＝BB 1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，
所以B 1M ∥BN ，又B 1M 平面A 1BN ，
BN 平面A 1BN ，
所以B 1M ∥平面A 1BN.
(2)正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，
BN 平面ABC ，所以BN ⊥AA 1， 在正△ABC 中，N 是AB 的中点，所以BN ⊥AC ，又AA 1，AC 平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，
所以BN ⊥平面AA 1C 1C ，又AD 平面AA 1C 1C ，所以AD ⊥BN ，由题意得，AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63，所以AA 1AC
＝AN
CD
＝3
2，又∠A 1AN ＝∠ACD ＝π2
，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N ＝∠CAD ，
所以∠ANA 1＋∠CAD ＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝π
2，则AD ⊥A 1N ，又BN ∩A 1N
＝N ，BN ，A 1N
平面A 1BN ，所以AD ⊥
平面A 1BN.
说明：变式1和2都通过“计算”来证明垂直，复习时应注意长度，角度等量的“计算”的运用来实现位置关系的求证．
串讲激活
串讲1
解析：(1)因为BC
⊥平面PAB ，AD 平面PAB ，所以BC ⊥AD.因为PA ＝AB ，D 为PB 的中点，所以AD ⊥PB.因为PB ∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面PBC.
(2)连接DC ，交PE 于点G ，连接FG.因为AD ∥平面PEF ，AD 平面ADC ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ，所以AD ∥FG.因为D 为PB 的中点，E 为BC 的中点，连接DE ，则DE 为△BPC 的中位线，△DEG ∽△CPG.所以DG GC ＝DE PC ＝12.所以AF FC ＝DG GC ＝1
2.
串讲2
解析：(1)在三棱台ABCDEF 中，AC ∥DF ，又AC 平面ACE ，DF 平面ACE ，所以DF ∥平面ACE ，又DF 平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，所以
DF ∥a.
(2)线段BE 上存在点G ，
且BG ＝1
3BE ，使得平面DFG ⊥平面
CDE.证明如下：如图所示，取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，连接GD ，
因为CF ＝EF ，所以GF ⊥CE. 在三棱台ABCDEF 中，因为AB ⊥BC ，所以DE ⊥EF ，因为CF ⊥平面DEF ，
DE 平面DEF ，所以CF ⊥DE ，又CF ∩EF ＝F ，所以DE ⊥平面CBEF ，GF 平面CBEF ，所以
DE ⊥GF.因为GF ⊥CE ，DE ⊥GF ，CE ∩DE ＝E ，CE 平面CDE ，DE 平面CDE ，所以GF ⊥平面CDE ，又GF 平面DFG ，所以平面DFG ⊥平面CDE ，此时，侧面BCFE 的平面图如图所示，延长FG ，
交CB 的延长线于点H ，因为O 是CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识可证得△HOC ≌△FOE ，所以HB ＝BC ＝12EF ，
由△HGB ∽△FGE ，可知BG GE ＝12，即BG ＝
1
3BE.
新题在线
(1)证法1取CE 中点F ，连接FB ，MF.
因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝1
2
CD.
又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点，
所以BN ∥CD 且BN ＝1
2CD ，
所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF.
又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，
所以MN ∥平面BEC.
证法2取AE 中点G ，连接MG ，GN. 因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD.
又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC.
又因为MG 平面BEC ，BC
平面
BEC ，
所以MG ∥平面BEC. 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE.
又因为GN 平面BEC ，BE
平面BEC ，
所以GN ∥平面BEC.
又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN 平
面GMN ，
所以平面GMN ∥平面BEC.
又因为MN 平面GMN ，所以MN ∥平面BEC.
(2)因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB.
因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ，
所以BC ⊥平面ABE.
因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH.因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH.
因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，
BE 平面BEC ，
所以AH ⊥平面BEC.
又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE.。