传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x L ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。

如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立，再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩ 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。

增函数→不变号，减函数→变号在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：a b >，则11,a b的关系如何？设()1f x x =，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判断出：当,a b 同号时，11a b a b>⇒<（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是xy a=还是()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：1a >时，x y >log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y >log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔<⇔<>进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）对于对数的两个补充① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数。

可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁 例如：()22.5log =？2.52222.5 2.51 2.5log 2log 2log =⨯=⨯==某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：()223240x x -⋅->，可将为2x 视为一个整体，令2x t =，则0t >，则不等式变为()()23404104t t t t t -->⇒-+>⇒>，24x ∴>，两边可同取以2为底对数2log 42x >= 6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。

如上一个例子中，通过将2x视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。

即若换元，则先考虑新元的初始范围 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 ③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围二、典型例题：例1：解下列一元二次不等式：（1）2340x x --< （2）2410x x -+> （3）2450x x -+> （4）24x --解（1）2340x x --<()()410x x ⇔-+<即()234f x x x =--与x 轴的交点为1,x x =-=由图像可得满足()0f x <的x 的范围为14x -<<∴ 不等式的解集为()1,4-（2） 令()241f x x x =-+，则()0f x = 可解得：422x ±==± 作图观察可得：2x <-或2x >+∴ 不等式的解集为((),22-∞-++∞U（3）令()245f x x x =-+，则()0f x =中，0∆<则()f x 与x 轴无公共点，即恒在x 轴上方，x R ∴∈注：由（1）（2）我们发现，只要是0a >，开口向上的抛物线与x 轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分()0f x <，在小大根之外的部分()0f x >，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀 ① 让最高次项系数为正② 解()0f x =的方程，若方程有解，则()0f x >的解集为小大根之外，()0f x <的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：22430430x x x x --+<⇔+-> 方程2430x x +-=的根为422x -±==-±∴ 不等式的解集为((),22-∞---+∞U例2：解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x ---> （2）()(12x x +-（1）解：()()()()123f x x x x =--- 则()0f x =的根1231,2,3x x x === 作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞U（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-U小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。

穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分。

以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了。

所以图像的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化。

例3：解下列分式不等式：（1）2103x x -≥+ （2）2243068x x x x -+≤-+ 解：（1）不等式等价于()()()21301,,3230x x x x -+≥⎧⎡⎫⇒∈+∞-∞⎨⎪⎢+≠⎣⎭⎩U ∴不等式的解集为()1,,32⎡⎫+∞-∞⎪⎢⎣⎭U（2）不等式等价于()()()()()()222436801324024680x x x x x x x x x x x x ⎧-+-+≤----≤⎧⎪⇒⎨⎨≠≠-+≠⎩⎪⎩且 解得：123424x x x x ≤≤≤≤⎧⎨≠≠⎩或且∴不等式的解集为[)[)1,23,4U例4：（1）2113x x -≥+ （2）221x x +≥+ （3）21612xx x ≥-+分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为()()0f x g x >再进行求解 解：（1）212111033x x x x --≥⇒-≥++ ()()430404330x x x x x x -+≥⎧-∴≥⇒⇒≥⎨++≠⎩或3x < ∴不等式的解集为()[),34,-∞+∞U（2）221x x +≥+ ()()()221212200001111x x x x x xx x x x x -++--⇒-+≥⇒≥⇒≥⇒≥++++()()110101110x x x x x x x +-≥⎧-≤≤≥⎧∴⇒⎨⎨≠-+≠⎩⎩或∴不等式的解集为(][)1,01,-+∞U（3）思路：观察发现分母()22612330x x x -+=-+>很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了 解：221612612xx x x x x ≥⇒≥-+-+ ()()27120340x x x x ∴-+≤⇒--≤ 34x ∴≤≤∴不等式的解集为[]3,4例5：解不等式：（1）23x x x +≤ （2）22x x x x--> 解：（1）方法一：所解不等式可转化为22234033023x x x x or x x x x x x x x x⎧+≥-≤-≥⎧⎪-≤+≤⇒⇒⎨⎨≤≤+≤⎪⎩⎩ 02x ∴≤≤方法二：观察到若要使得不等式23x x x +≤成立，则300x x ≥⇒≥，进而2x x +内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解23x x x +≤即可。