微专题七 基本不等式
基本不等式作为 C 级考点，每年必考，但基本上都是作为工具在其他知识点里面出 现．
年份 2017 2018 2019
填空题 T10 应用题中的最值 T13 三角形中边长和的最值 T7，T19 基本不等式的应用
目标 1 基本不等式应用于一元函数的最值
1
4x2－2x＋1
例 1 (1) 已知 x＜2，则函数 y＝ 2x－1 的最大值是________．
sinα 3. 已知 α，β 均为锐角，且 cos(α＋β)＝sinβ，则 tanα 的最大值是________．
目标 2 给定条件下二元变量的最值问题
例 2 (1) 若 log4(3a＋4b)＝log2ab，则 a＋b 的最小值是________．
2xy
xy
(2) 已知 x>0，y>0，则x2＋8y2＋x2＋2y2的最大值是________．
(1) 为使剩下木板 MBCDN 的面积最大，试确定 m，n 的值； (2) 求剩下木板 MBCDN 的外边框长度(MB，BC，CD，DN 的长度之和)的最大值．
点评：
【思维变式题组训练】
如图，某城市有一块半径为 1(单位：百米)的圆形景观，圆心为 C，有两条与圆形景观 相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多 市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议， 决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB.问：A，B 两点应选在何处，可使得小道 AB 最短？
a2 2
1
(3) 已知 a，b 均为正数，且 ab－a－2b＝0，则 4 －a＋b2－b的最小值为________．
点评：
【思维变式题组训练】
1. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则 cosA＋2cosC 的最大值为________．
( )1 3 1
(2) 已知在 _________．
点评：
△ABC
中，，A→B·A→C＝3C→A·C→B
111 ，则tanA＋tanB＋tanC的最小值为
【思维变式题组训练】
1 1. 已知函数 f(x)＝2x 100－x2，则 f(x)的最大值为________．
x2＋ax＋11 2. 已知函数 f(x)＝ x＋1 (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取 用基本不等式解应用题
例 3 如图，长方形 ABCD 表示一张 6×12(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框
(图中阴影部分)，中间为薄板．木板上一瑕疵(记为点 P)到外边框 AB，AD 的距离分别为 1 分米，2 分米．现欲经过点 P 锯掉一块三角形废料 MAN，其中 M，N 分别在 AB，AD 上．设 AM，AN 的长分别为 m 分米，n 分米．
0＜x＜
2. 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3
2 ，则x＋y－3的最小值为________．
x－2y 3. 若实数 x，y 满足 2x2＋xy－y2＝1，则5x2－2xy＋2y2的最大值为________．
2a2 b2＋1 4. 已知函数 f(x)＝x－sinx，若正数 a，b 满足 f(2a－1)＋f(b－1)＝0，则a＋1＋ b 的 最小值为________．