求证：DE=DF.
4、如图，在四边形 ABCD 中， AC 平分 BAD ，过 C 作 CE AB于E， 并 且 AE 1 (AB AD) ， 则
2
ABC ADC 等于多少？
D C
A
EB
5、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC
A
C
5
3、 已 知 ： 如 图 1-3， AB=2AC， ∠ BAD=∠ CAD，
A
DA=DB，求证 DC⊥AC
C E
（二）、异向截线 如果：OP 平分∠AOB，PM=PN，可以过 P 点向 B
OA、OB 作垂线分别交于点 C、点 D。 那么：△PCN≌△PDM，∠ONP+∠OMP=180º。
D
图 1- 3
于 F.
A
（1）说明 BE=CF 的理由；
（2）如果 AB= a ，AC= b ，求 AE、BE 的长.
E
B
G
C
F
D
模型三：角平分线+平行
（一）、在角内与一边平行
如果：OP 平分∠AOB， PM∥OB ,那么：△OMP 为等腰三角形
A
例题：
M O
7
P B
1、已知：如图 7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG∥BC，交 AC 边于 F，交∠ACB 的外 角 （∠ACD）的平分线于 G，探究线段 EF 与 FG 的数量关系并证明你的结论．
A
C N
P
O
D
例题： １、已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC
MB
A
12 C
B
D
２、如图，BD 是四边形 ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA＝CD D C
A
B
6
３、如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上一点，且∠EDF＋∠ BAF=180°。
A
A
P
A
P
B
C
G
D
B
B
C
P
D C
模型：角平分线 + 垂直
（一）、与角的两边垂直——构全等
如果：OP 平分∠AOB，PM⊥OB，可以过 P 点向 OA 作垂线交于点 N。
那么：△NOP≌△MOP
A
N
P
O
M
B
例题：
1、如图△ABC 中， ∠C=90º，AC=BC ，AD 是∠A 平分
线。
A
求证：AC+CD=AB
角平分线的模型
三角形中角平分线的基本模型
在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以 转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习 惯奠定基础。下面举例说明。 【模型一】角平分线+垂直一边（点在线 垂两边 得全等） 若 PA⊥OM 于点 A，如图 a，可以过 P 点作 PB⊥ON 于点 B，则 PB=PA。可记为“图中有角平 分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到 一组全等三角形； 【模型二】角平分线+斜线 若点 A 是射线 OM 上任意一点，如图 b，可以在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB，构造△OPB≌△ OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。 【模型三】角平分线+垂线（角分垂 等腰归） 若 AP⊥OP 于点 P，如图 c，可延长 AP 交 ON 于点 B，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边 AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种 情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形； 【模型四】角平分线+平行线（角分平 等腰呈） 若过 P 点作 PQ∥ON 交 OM 于点 Q，如图 d，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分 线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。
2
C
D
B
2、已知如图 2-3，△ABC 的角平分线ＡＥ、ＣＦ相交于点Ｏ。 求证：∠ＡＢＣ的平分线也经过点Ｏ。
B
E FO
A
C
３、如图，已知 BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，
求证：点 F 在∠BAC 的平分线上。
D
B F
A
C
E
4、已知：如图 2-7，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为 D，AE 平分∠
F A
DE
B C
图 3- 2
2、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的平分线，BE⊥AD 于 E。
求证： BE 1 ( AC AB) 2
A
12
F
E
B
D
C
３、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB，且 AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝1800。
求证：DE∥BC
ALeabharlann DEBC4、(11 呼市)如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，CE 是∠BCD 的平分线，且 CE⊥AB，E
为垂足，BE=2AE，若四边形 AECD 的面积为 1，则梯形 ABCD 的面积
。
A
B
E
4
B
C
模型二：角平分线 + 截线 （一）、同向截线
如果：OP 平分∠AOB，PM=PN，可以过 P 点向 OA、OB 作垂线分别交于点 C、点 D。
2、如图，若 AD 平分∠BAC 平分线，过 CE∥
CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH//AB 交 BC 于 H。 求证 CF=BH。
C E
F H
A
D
B
图 2- 7
（二）、与角平分线垂直——构等腰三角形 如果：OP 平分∠AOB，PM⊥OP，可以延长ＭＰ交ＯＢ于点Ｎ。 那么：△MON 为等腰三角形
A M
3
P
O
NB
例题： 1、已知：如图 3-2，AB=AC，∠BAC=90 º ，BD 为∠ABC 的平分线，CE⊥BE.求 证：BD=2CE。
那么：△PCN≌△PDM，OM=ON
A
C N
P
O
MD
B
例题： 1、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞ PB-PC
A
12 P
B
C D
2、如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠A、∠C 的角平分线 AE、CF 相交于 O．
求证：OE＝OF．
B
E FO
【模型五】角平分线+对角互补 若∠A+∠C=180°，BD 是∠ABC 的平分线，则 AD=CD．
1
【模型六】夹角模型 BP、CP 分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，则：∠P=90°+ ∠A． BP、CP 分别是∠CBG、∠BCD 的角平分线，则： ∠D=90°- ∠A． BP、CP 分别是∠ABC、∠ACD 的角平分线，则：∠P= ∠A．