专题五平面向量1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝()A .2B ．2C ．52D ．502．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为()A .π6B .π3C .2π3D .5π63．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)，则c o s 〈a ，b 〉＝________.闭卷填空1．基本概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模)．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a a||是一个与a 同向的____________；－a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________．规定：0与任一向量____________．(5)向量的夹角①已知两个________向量a 和b ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则∠A O B ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．②向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.③如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．2．基本运算(1)A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝________．O A →－O B →＝________.(2)λa 与a ________，λ∈R .(3)平面向量的数量积定义：a ·b ＝__________________．几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影________的乘积，这一性质常用来简化几何形式运算．性质：①a ·a ＝________＝________，|a |＝________；②c o s θ＝____；③a ·b ＝0(a ，b 非0)⇔____________；④|a ·b |≤____________.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝__________________________(5)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A B →＝______________.(6)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝____________.(7)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝___________________.3．重要结论(1)向量坐标形式的几个重要结论设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，θ为a 与b 的夹角．①长度或模a ||＝____________；A B →||＝__________________②夹角c o s θ＝__________________＝__________________.③位置关系a ∥b ⇔____________(b ≠0且λ∈R )⇔_______________________.a ⊥b ⇔____________⇔________________.④G (x ，y )为△A B C 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则A B 中点D 的坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22().再由C G →＝2G D→，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．※⑤线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )．当P 1P →＝λP P 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝x 1＋λx 21＋λ，y1＋λy 21＋λ().特别地：当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P x 1＋x 22，y1＋y 22().(2)向量与几何综合的有关结论①给出O A →＋O B →与A B 相交，等价于已知O A →＋O B→过____________的中点．②给出P M →＋P N→＝0，等价于已知P 是线段__________的中点．③给出A P →＋A Q →＝λ(B P →＋B Q →)，等价于已知A ，B 与________________三点共线．④给出以下情形之一：a .A B →∥A C →；b ．存在实数λ，使A B →＝λA C→；c ．若存在实数α，β，且α＋β＝1，使O C →＝αO A →＋βO B→.等价于已知____________．⑤若M A →，M B→为非零向量，则给出M A →·M B→＝0，等价于已知____________________；给出M A →·M B→＜0，等价于已知____________________；给出M A →·M B→＞0，等价于已知____________________．⑥给出λM A →M A →||＋M B →M B→||()＝M P→，等价于已知__________．⑦在▱A B C D 中，给出(A B →＋A D →)·(A B →－A D→)＝0，等价于已知__________________________；给出A B →＋A D →||＝A B →－A D→||，等价于已知__________________________．⑧在△A B C 中，给出A D →＝12(A B →＋A C→)，等价于已知____________．类型一图形形式的运算问题(1)如图，已知在△A B C 中，D 为边B C 上靠近B 点的三等分点，连接A D ，E 为线段A D 的中点．若C E →＝m A B →＋n A C→，则m ＋n ＝()A ．－13B ．－12C ．－14D .12(2)在矩形A B C D 中，|A B →|＝4，|A D →|＝2.若点M ，N 分别是C D ，B C 的中点，则A M →·M N →＝()A ．4B ．3C ．2D ．1(3)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为()A .π6B .5π6C .π3D .2π3(4)在△A B C 中，E ，F 分别为A C ，A B 的中点，B E 与C F 相交于G 点，设A B →＝a ，A C →＝b ，用a ，b 表示A G→，则A G →＝________．(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△A B C 中，A D 为B C 边上的中线，E 为A D 的中点，则E B →＝()A .34AB →－14AC →B .14A B →－34A C →C .34A B →＋14A C →D .14A B →＋34A C →(2)在平行四边形A B C D 中，已知A B ＝5，A D ＝3，|B A →＋B C →|＝4，则A B →·A D →＝()A ．5B ．9C ．12D ．16(3)若O 为△A B C 所在平面内任一点，且满足(O B →－O C →)·(O B →＋O C →－2O A →)＝0，则△A B C 一定是()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形(4)若M是△A B C 内一点，且满足B A →＋B C →＝4B M →，则△A B M与△A C M的面积之比为()A .12B .13C .14D ．2类型二符号形式的运算问题已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)a 与b 的夹角为________；(2)|a ＋b |＝________；(3)若A B →＝a ，A C→＝b ，则△A B C 的面积为________．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 的夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．(2)已知向量a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝3，|c |＝32，则对任意的正实数t ，c ＋t a ＋1tb||的最小值是()A ．2B ．22C ．4D ．42(1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是____________．(2)在△A B C 中，若A ＝120°，A B →·A C →＝－1，则|B C →|的最小值是()A .2B ．2C .6D ．6类型三坐标形式的运算问题(1)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知平面向量P A →，P B →满足|P A →|＝|P B →|＝1，P A →·P B →＝－12.若|B C →|＝1，|A C→|的最大值为()A .2－1B .3－1C .2＋1D .3＋1(1)已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，A M →＝λA B →＋μA C →(λ，μ∈R )，且A M →·B C→＝0，则λμ的值为________．(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________．类型四平面向量与三角函数已知向量a ＝(c o s 3x 2，s i n 3x2)，b ＝c o s x 2，－s i n x 2()，且x ∈－π3，π4[].(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：①题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．②给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域、范围等．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|O C→|＝1，且∠A O C ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝3π4，设点D 为线段O A 上的动点，求|O C →＋O D →|的最小值；(2)若x ∈0，π2[]，向量m ＝B C →，n ＝(1－c o s x ，s i n x －2c o s x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．类型五平面向量与平面几何(2017·全国卷Ⅱ)已知△A B C 是边长为2的等边三角形，P 为平面A B C 内一点，则P A →·(P B →＋P C →)的最小值是()A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1若△A B C 外接圆的圆心为O ，半径为4，O A →＋2A B →＋2A C →＝0，则C A →在C B→方向上的投影为()A ．4B .15C .7D ．1规律方法1．设非零向量a ，b 不共线，当|a ＋b |＝|a －b |，即以a ，b 为邻边的平行四边形两对角线的长相等时，平行四边形为矩形．所以有|a ＋b |＝|a －b |⇔a ⊥b .2．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明A B ∥C D ，需A B →∥C D→，且A B 与C D 不共线；要证A ，B ，C 三点共线，则证A B →∥A C→即可．3．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．4．三角形与向量的联系(1)G 是△A B C 的重心⇔P G →＝13(P A →＋P B →＋P C →)，特别地，P 是△A B C 的重心⇔P A →＋P B →＋P C→＝0.(2)P 是△A B C 的垂心⇔P A →·P B →＝P B →·P C →＝P C →·P A→.(3)A D 是△A B C 的内角平分线⇔A D→＝λA B →|A B →|＋A C →|A C →|()(λ>0)．(4)A B →|A B →|＋A C →|A C →|()⊥A B →|A B →|－A C →|A C →|().(5)S △A B C＝12|A B →||A C →|s i n A ＝12|A B →|2|A C →|2－A B →·A C →2＝12A B →·A C →t a n A (A 非直角)．温馨提示1．a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，而不是x 1x 2＝y1y2，这是因为零向量与任一向量平行．遗漏零向量易出现错误．2．平面向量的平行与垂直的坐标形式的判定条件易于混淆，其口诀是“平行交差，垂直相加”，即对于非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．对于实数，若a b ＝b c ，且b ≠0，则a ＝c ，但向量的数量积不满足此消去律，即a ·b ＝b ·c 不能推得a ＝c .4．两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合．向量A B →与B C →，B C →与C A →，C A →与A B →的夹角，要通过向量平移，使两向量的起点重合后才能得到．5．若a ＝0，则a ·b ＝0，但a ·b ＝0不能得到a ＝0或b ＝0.因为a ⊥b 也有a ·b ＝0.6．一般地，a ·(b ·c )≠(a ·b )·c ，即向量的数量积运算不满足结合律．7．错误地将a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角看作等价条件，或将a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角看作等价条件．忽略了a ，b 同向(夹角为0°)或反向(夹角为180°)的情形，在涉及两向量夹角问题时要留心这一点．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2018·北京)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝()A ．4B ．3C ．2D ．03．已知向量a ，b 不共线，向量A B →＝a ＋3b ，B C →＝5a ＋3b ，C D→＝－3a ＋3b ，则()A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝()A ．－12B .12C ．－2D ．25．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为()A .π2B .π3C .π6D ．π6．在△A B C 中，A B →＋A C →＝2A D →，AE →＋D E →＝0，若E B →＝x A B →＋y A C →，则()A ．y ＝3xB ．x ＝3yC ．y ＝－3xD ．x ＝－3y7．已知非零向量A B →与A C →满足A B →|A B →|＋A C →|A C →|()·B C→＝0且A B →|A B →|·A C →|A C →|＝12，则△A B C 为()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知点A (4，3)和点B (1，2)，点O 为坐标原点，则|O A →＋t O B →|(t ∈R )的最小值为()A ．52B ．5C ．3D .59．已知P 是边长为2的正三角形A B C 的边B C 上的动点，则A P →·(A B →＋A C →)()A ．有最大值为8B ．是定值6C ．有最小值为2D ．与点的位置有关10．已知△A B C 中，∠A ＝120°，且A B ＝3，A C ＝4，若A P →＝λA B →＋A C →，且A P →⊥B C→，则实数λ的值为()A .2215B .103C ．6D .12711．(2018·天津)如图，在平面四边形A B C D 中，A B ⊥B C ，A D ⊥C D ，∠B A D ＝120°，A B ＝A D ＝1.若点E 为边C D 上的动点，则A E →·B E→的最小值为()A .2116B .32C .2516D ．312．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若A O →·A B→＝32，则实数m ＝()A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．13．设0＜θ＜π2，向量a ＝(s i n 2θ，c o s θ)，b ＝(c o s θ，1)，若a ∥b ，则t a n θ＝________.14．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于________．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．16．在△A B C 中，A B ＝3，A C ＝5.若O 为△A B C 的外接圆的圆心，则A O →·B C→＝________．17．已知圆x 2＋y 2＋4x －5＝0的弦A B 的中点为(－1，1)，直线A B 交x 轴于点P ，则P A →·P B→的值为________．18在△A B C 中，∠B A C ＝120°，A B ＝2，A C ＝1，D 为线段B C 上任一点，则A D →·B C→的最大值为________．。