求点的轨迹问题一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。

常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。

若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。

二、典型例题：例1：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是（ ）A. 22132x y +=B. 22132x y -= C.()224136x y --= D. 22123x y += 思路：设(),P x y ，则可直接利用已知条件列出关于,x y 的等式，化简即可 解：设(),P x y3P ld PA-∴==33x ∴-=()()222331x x y ⇒-=-+2221626x x y ⇒--=-()()22224246136x y x y -⇒--=⇒-= 答案：C例2：已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________思路：通过作图可得2MBA MAB ∠=∠等价的条件为直线,MA MB 的斜率的关系，设MAB α∠=，则2MBA α∠=，则可通过,MA MB 的斜率关系得到动点M 的方程解：若M 在x 轴上方，则tan ,tan2MA MB k k αα==-221MAMB MAk k k ∴=-- ,12MA MB y y k k x x ==+- 代入可得：22122211yy x x y x πα⋅⎛⎫+=-≠ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪+⎝⎭，化简可得： 2233x y -=即2213y x -= 若M 在x 轴下方，则tan ,tan2MA MB k k αα=-=，同理可得：2213y x -= 当22πα=时，即MAB 为等腰直角三角形，()2,3M 或()2,3M -满足上述方程所以当x 在一四象限时，轨迹方程为()22113y x x -=≥ 当M 在线段AB 上时，同样满足20MBA MAB ∠=∠=，所以线段AB 的方程()012y x =-<<也为M 的轨迹方程综上所述：M 的轨迹方程为()22113y x x -=≥或()012y x =-<< 答案：()22113y x x -=≥或()012y x =-<< 例3：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是（ ） A. 212x y =-B. 21216x y =- C. 222x y =- D. 221x y =- 思路：依题意可得()0,1F ，(),M x y ，()00,P x y ，则有0000221212x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，因为()00,P x y 自身有轨迹方程，为：2004x y =，将00221x xy y =⎧⎨=-⎩代入可得关于,x y 的方程，即M 的轨迹方程：()()22242121x y x y =-⇒=-答案：D例4：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________思路：考虑设()()00,,,M x y P x y ，由抛物线24y x =可得：()1,0F ，且2004y x =，故考虑利用向量关系得到,x y 与00,x y 的关系，从而利用代入法将00,x y 用,x y 进行表示，代入到2004y x =即可解：由抛物线24y x =可得：()1,0F设()()00,,,M x y P x y ()()001,,1,FP x y FM x y ∴=-=-2FP FM = ()00002112122x x x x y y y y =--=-⎧⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩ ①P 在24y x =上 204y x ∴=，将①代入可得： ()()22421y x =-，即221y x =-答案：221y x =-例5：在平面直角坐标系xOy 中，直线()44x t t =-<<与椭圆221169x y +=交于两点()()1122,,,P t y P t y ，且120,0y y ><，12,A A 分别为椭圆的左，右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在曲线方程为________思路：由椭圆可得：()()124,0,4,0A A -，从而可确定线12AP 与21A P 的方程。

()()211221:4,:444y y A P y x A P y x t t =+=-+-，若联立方程解,x y ，则形式较为复杂不易化简，观察两条直线方程的特点，可发现若两边相乘，有平方差的特点，且x t =与椭圆相交，则12,P P 关于x 轴对称，有21y y =-。

所以两方程左右两边分别相乘可得：()22212416y y x t =---，再利用()11,P t y 满足椭圆方程，消去等式中的1,t y 即可解：由椭圆可知：()()124,0,4,0A A -，设交点坐标(),x y 。

x t = 与椭圆相交于12,P P ∴12,P P 关于x 轴对称 21y y ∴=-考虑直线12A P 与21A P 的方程：由()()1214,0,,A P t y --可得：1214A P y k t =-+ ()112:44y A P y x t -∴=++ ① 同理可得：()121:44y A P y x t =-- ② ①⨯②可得：()222121616y y x t =--- ③ 由()11,P t y 在椭圆上可得：()222211911616916t y y t +=⇒=-，代入③可得： ()2222916161616t y x t -=-⋅--，整理后可得： 221169x y -= 答案：221169x y -= 小炼有话说：本题消元的方法比较特殊，是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点，从而两式相乘，再进行代入消元。

例6：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()22:34C x y -+= 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________思路：定圆的圆心为()3,0C ，观察到恰好与()3,0A -关于原点对称，所以考虑P 点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，由两圆外切可得2PC r =+，所以2PC PA -=，即距离差为定值，所以判断出P 的轨迹为双曲线的左支，则1,3a c ==，解得2228b c a =-=，所以轨迹方程为()22118y x x -=≤-答案：()22118y x x -=≤- 小炼有话说：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义的要素，即线段的和或差。

要注意本题中PC PA >，所以轨迹为双曲线的一支。

例7：是圆()22125x y ++=的圆心为C ，()1,0A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y += 思路：可得()1,0C -，发现刚好与()1,0A 均在x 轴上且关于原点对称，从而联想到双曲线或椭圆的焦点，观察几何性质可得：由AQ 的中垂线可得AM QM =，从而考虑5CM AM CM QM CQ r +=+===，即M 到,A C 的距离和为定值5，从而判断出其轨迹为椭圆，可得525,12a a c =⇒==，则222214b a c =-=，所以椭圆方程为：224412521x y += 答案：C例8：已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 222x y += B. ()2211x y -+=C. ()2211x y +-= D. ()2214x y -+=思路：先处理条件OA OB OA OB +=-可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形。

即OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得2m k =-，从而可得直线过定点()2,0，结合图像性质可得OM AB ⊥，则M 的轨迹为以OC 为直径的圆，轨迹方程为()2211x y -+=解：OA OB OA OB +=- ，且,OA OB OA OB +- 为,OA OB为邻边的平行四边形对角线∴ 该四边形为矩形，即OA OB ⊥设()()1122,,,A x y B x y ，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=联立方程：22y kx m y x =+⎧⎨=⎩，消去x 可得：222202ky y m ky y m =+⇒-+= 122m y y k ∴= 222121224y y m x x k == 2220m m k k∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0COM AB ⊥ 即OM CM ⊥ M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆则该圆的圆心为()1,0，半径1r =∴轨迹方程为()2211x y -+=答案：B例9：过点()6,0M -作圆22:6490C x y x y +--+=的割线，交圆C 于,A B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得112MA MB MQ+=，求点Q 的轨迹 解：设点()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y ，直线AB 的斜率为k)))126,6,6MA x MB x MQ x ∴=+=+=+由112MA MB MQ +==()()()12112666x x x ∴+=+++ ()()()1212121226366x x x x x x x ++⇒=++++ ①，联立方程： ()2266490y k x x y x y ⎧=+⎪⎨+--+=⎪⎩，消去x 可得： ()()()222212623312830kx k k x k k ++--+-+=()()22121222262331283,11k k k k x x x x k k ---+∴+=-=++代入①可得：()()()()22222226231221631283262363611k k k x k k k k k k ---++=+-+---⋅+++ 即()4182816k x +=+，而6MQ y k k x ==+代入可得： ()41826816yx x ++=+化简可得：92270x y +-=，因为Q 在圆内所以点Q 的轨迹是直线92270x y +-=被圆截得的弦例10：如图所示，点N 在圆224x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>（1）求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆 （2）当12λ=时，在（1）中所得曲线记为C ，已知直线:12xl y +=，P 是l 上的动点，射线OP （O 为坐标原点）交曲线C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，求点Q 的轨迹方程解：（1）思路：N 自身有轨迹方程，且条件中所求的点M 与点N存在联系（DM DN λ=），所以考虑利用代入法求轨迹方程。