2
P c0 0 s
2
一维波动方程
t 0
2
——流体压缩， 体积变小；流 体膨胀，体积 变大
v x
0
1 p c0 t
2
0
v x
0
1 p
2
p c0
c0 t
2
2
0
v
2
tx
0
v t

p x
; Az =
p z
( p )
p x
2

p
2
y
2

p z
2
p
2
25
( 0v ) t
t
p
( 0v ) 2 ( p ) p t

2
( 0 v ) 0
t
2
2

t
物态方程
p c0
2
24
微分运算关系
x i y j x k ; A Ax x Ay y Az x
标量
矢量
矢量
标量
p
p x
i
p y
j
p z
2
k Ax =
p x
2
; Ay =
p y
(v )
全导数
偏导数
对流项
19
线性声学：小振幅声波 非线性声学：有限振幅声波
一维方程线性化
0 ; p P P0 ; v v 0 v
( 0 , P0 , v 0 )
——没有声波时，流体的密度、压强和质 点速度（v0=0）
v t v x p x
1P a= 1N /m
2
——人耳对1kHz声音的可听阈约为 2 1 0 5 P a ——微风吹动树叶的声音 2 1 0 4 P a
——飞机发动机的声音 2 0 0 P a
声源 振动：弦；笛；鼓…… 气动：流体噪声……
压电效应、磁致伸缩效应……
8
9
3.2 线性化声波方程
理想流体的基本方程
三个基本物理定律： 牛顿第二定律、质量守恒定律、物态方程 运动方程
取一体积元，在x方向的位置从x 到 x+dx，横截面积为S=dydz.
体积元左侧受力：
F1 ( P0 p ) S
F1 dz dx
F2 dy x
10
体积元右侧受力：
F2 ( P0 p d p ) S
F1
F2
dz dx
y dy
(vy )
y
dy
z
( vx ) x

( vy ) y

( vz ) z
0
t
( v ) 0 ——矢量形式
14
物态方程 低频声波动：准平衡态；即使低频声波，在媒质压缩和 膨胀的一个周期内，相邻媒质来不及完成热交换。因此， 声波动过程是一个绝热过程
P P (s, )
p P P0 P ( s , ) P0
——流体的本构方程 平衡态热力学中：实验决定； 平衡态统计力学中：原则上，只要知道粒子—粒子相互 作用，可以理论得到状态方程；
15
小振幅声波方程
运动方程

连续性方程
t
dv dt
p
(v) 0
29
等相位面
kx t 常 数
不同时刻
kx 常 数 t i , ( i 0,1, 2......)
——垂直于x轴的平面 平面移动的速度
dx dt

k
c0
x
p x方 向 运 动 的 平 面 波 p x方 向 运 动 的 平 面 波
30
p P P0
——声压是时间和空间的函数
p p ( x, y, z, t )
pe
1 T

T 0
p dt
2
声
场：存在声压的空间或声波所到达的空间
瞬时声压：声场中某一瞬时的声压值
峰值声压：一定时间间隔内最大的瞬时声压值 有效声压：一定时间间隔内，瞬时声压对时间取均方根值
6
7
声压的单位：Pa（帕）
等相位面移动的速度——相速度——声速
空气中声速
c0 P ~ 3 4 4 m /s s
P
空气
理想气体

绝热过程：P V
常数


常数
c0

P s ,0
P0 0
5
温 度 0 C : 1 .4 0 2; P0 1 .0 1 3 1 0
17
t 0
Euler描述 速度场：在空间建立速度场v(r,t).当时刻t,流到r的流 体质点具有速度v(r,t). x3 注意：由于流体的流动， 在同一空间点r，不同 时刻t和t+t的速度v(r,t) 和v(r, t+t)不是同一个 质点的速度. x1
18
f(x1,x2,x3,t)
O
x2
a
人大声讲话的声压 p 0 0.1P a
v 0 2.5 10
4
m /s
——远小于声速！
33
三维平面声波
1 p
2
c0 t
2
2
2 p 2 p 2 p 0 2 2 2 y z x
在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场
p ( x , y , z , t ) p ( x , y , z ) exp( i t )
d yd z ( v y )
d xd z ( v z )
z dz
d xd y
13

( vx ) t ( vz )
t
( vx ) x ( vy ) x dx dx ( vz ) z dz z dz
t 20 C : c 344 m /s
等温过程：
PV 常 数 P 常 数
错误
c0
P0
0
2 9 7 m /s
32
声速与媒质质点振动速度的区别
0
v t

p x
v0
p0
0c
p p 0 e x p [ i ( t k x )] v v 0 e x p [ i ( t k x )]
物态方程
p P P0 P ( s , ) P0
——非线性方程：5个方程，5个未知数
16
全导数和偏导数
流体运动的2种描述方法 Lagrange描述 (a,b,c)
r0(a,b,c,0)
O
v ( a , b , c , t ) lim
r(a,b,c,t)
r (a, b, c, t t ) r (a, b, c, t ) t r t
物态方程
2 P 1 P 2 p P ( s , 0 ) P0 ...... 2 s ,0 2 s ,0
P 2 c0 s ,0
21
p c0
第3章 声波的基本性质
3.1 声压的基本概念
3.2 线性化声波方程
3.3 平面声波的基本性质
3.4 能量关系和声的度量
3.5 声波的干涉
1
3.1声压的基本概念
媒质质点的机械振动由近及远的传播称为声振动的传播 或称为声波
2
声的分类
3
不同声音的频率范围
4
5
声压 设体积元受到扰动后，压强从P0改变为P, 则压强的变 化量称为声压（sound pressure）
——行波解——自由空间
p ( x ) A cos( kx ) B sin( kx )
——驻波解——有限空间
考虑到时间变量的行波解
p ( x ) A exp[ i ( kx t )] B exp[ i ( kx t )]
意义分析
p ( x ) A ex p [ i ( kx t )] p ( x ) B ex p [ i ( kx t )]
0
v
2
xt

p
2
x
2
22
1 p
2
c0 t
2
2

p
2
x
2
;
1
2
c0 t
2
2


2
x
2
——一维声波方程
0
v t
2

p x
0
v t
2
c
2
x
v
2
0
v
2
p c0
t 0 v x 0
1 p
2
c0 t
2
2

p
2
x
2
在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场
p ( x , t ) p ( x ) exp( i t )
d p(x) dx
2 2
k / c0
k p(x) 0
2
——波矢
27
管道中才能形成平面波
28
通解
p ( x ) A exp( ikx ) B exp( ikx )
运动方程
( 0 ) v v t

v t
,v
v x
0