波的基本概念1.波：振动在媒质（介质）中的传播就是波，分为横波和纵波。

2.横波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向垂直。

例如：一根均匀柔软的细绳的振动，形成的波就是横波。

3.纵波：媒质中各体元振动的方向与波传播的方向平行。

例如：空气中的声波，空气中体元时而靠近，时而疏远。

4.表面波：在两中媒质的界面上传播的波。

例如：水面波。

5.波面：波传播时，同相位各点所组成的面。

6.波前：离波源最远，即“最前方”的波面。

7.波射线：与波面垂直且表明波的传播方向的线叫波射线。

8.平面波：波前为平面的波。

波线是互相平行的。

9.球面波：波前为球面。

点波源在均匀的和各向同性媒质中发生的波是球面波。

波线是相交于波源的直线。

平面简谐波方程一. 平面简谐波：平面波传播时，媒质中体元均按正弦（或余弦）规律运动。

二. 平面简谐波方程（从运动学角度考虑）：描述不同时刻不同体元的运动状态。

设：一列平面简谐波沿'轴正向传播，选择原点-|处体元相位为0的时刻为计时起点，即该体元的相位为零，则：|处体元的运动学方程：y = Acos魏其中：「为体元距平衡位置的位移，A、「为波源的振幅和圆频率。

Ai ——经：的时间，- |处体元的振动状态传到位于二处的体元，即：t时刻，位于厂处（巧t ——的体元的振动状态应与I甘丿时刻处体元的振动状态一样，则乔处体元的运动学方程为：其中：V 为振动状态传播的速度，叫波速，也叫相速。

⑴式就是平面简谐波方程。

从⑴式时刻的波形。

T=—r由⑴可知：二处体元振动的周期、频率和圆频率：注意：•不一定是振动系统的固有频率而取决于波源频率，所以⑴中的形式不意味 着各体元作简谐振动。

由⑵知：t 一定时，y 是二的周期函数，也存在空间位置上的周期，波长即：波长是波在一个周期内传播的距离，或：沿波传播方向相邻同相位两点间的距离。

另外，由空间位置的周期性可知:A — vT =—定义： '，称为波数:看出：二处质元的振动比原点处的质元落后 X耳£誌X —F 丿。

若：波动沿X 轴负方向传播，则波动方程为:⑵式可以看出：■-处质元的振动超前于原点处的质元平面简谐波方程的物理意义1.当二一定时, y = A CQS £^l—I v 丿表示x 处质元的振动方程，初位相是2.当t 一定时,“表示t 时刻各个质元偏离平衡位置的位移，即斗+八1;2JT--_七二 _J 1，:表示单位长度上的波数，而 •表示•”长度上波的数目。

' •'都描述平面简谐波的空间周期性。

3. 联系平面简谐波的空间周期性与时间周期性的公式：四.平面简谐波方程的多种形式：练习题：图（1）、图（2）分别表示t=0和t=2s 时的某一平面简谐波的波形图，试一. 波动方程（平面简谐波的动力学方程）不是依据课本上的推导，而是从“平面简谐波的动力学方程”出发来寻找动力学方 程。

已知：代表t 时刻二处质元的速度。

代表t 时刻二处质元的加速度祖七y - j4cas2.^十一或 y = A cos 2砂1y = J 4COS 写出此平面简谐波方程。

代表t 时刻二处的应变波动方程与波速 （波的动力学方程）J 心-一简谐振动的动力学方程，―小、-小-一简谐振动的运动学方程二. 波速1•横波（多为固体液体剪切形变详见第八章）eN程丄 =列工）二前応刃二曲空由/ .'F& +朋）=曲冰+ A刃® 當z质元的和外力（忽略掉质元的重力）：湮|和1〕_ 1二厨“邑dt2------ ------ —-Ax —dx21护y^y_Nd2y'N胪或：护⑵式也是波的动力学方程。

2 NV =⑴、⑵比较可知：，所以波速:其中：N是剪切模量，•是物块的密度2.纵波同理:a?⑴式就是波的动力学方程，而J4COS 少就是波的运动学方程。

类比于:其中：丫是杨氏模量，•一是密度（a固体中）。

由此可知：固体中的纵波和横波的波速与媒质弹性密切相关。

另外，张紧的柔软细绳中横波波速为：其中，T是绳中的张力。

平均能流密度一.媒质中波的能量分布主要研究某体元动能、形变势能以及总能的变化规律。

1、动能由:y = Acos u^~ = -A C7sin 中v d£体元的振动速度。

设: 媒质密度为• ，「表示体元的体积。

则该体积的动能为:] ] < xdE k=—銘和/ -一sui'乩d 一一2 2 I v2、势能体元的剪切应变为：•，所以：体元剪切应变势能为:dx2阳卩竺#如2希2 v2dt2q dx2又因为横波：，所以有:（I）和c）式比较：得：门■二宀一。

即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时达最大或最小。

3、总能因此，某体元的总能等于两者之和：即：dE -，命&W sin2血f 一一 \卩丿由（3）式可知：某体元的总能为空间和时间的函数。

注意：波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。

4、能量密度：单位体积媒质所有的能量，用•表示，由（3）式知:dE 2 ^2 2 （於s=-—匸阿』A sin 中f f —dN \ v平均能量密度：能量密度在一周期内的平均值-:vt、平均能流密度媒质中体元的能量由振动状态决定，而振动状态又以波动传播，所以能量也以波速传播。

现取波面上一面元」，贝在一周期内体积为的柱体内的能量均得流过该面兀，流过的能量为：厂2厂，贝U：单位时间通过单位面积的能量：^Tds“ 1 2 2Tds2定义：平均能流密度：大小等于单位时间内通过与波传播方向面积的能量，方向沿波传播方向，是一矢量，符号“ 「”：即：平均能流密度的大小等于平均能量密度与波速 单位：「, ■■ , 或: ■ -■■例：一球面波，不计媒质吸收的能量，设波面“：，对应的 平均能流密度为7 7,则：单位时间内通过不同波面的能量相同， 即：也=佔=> Zj 4 时；=■ 4 用h E 应甬G)式二 —=亠即：球面波各体元的振幅和该点到波源的距离成反比波的叠加和干涉驻波一. 波的叠加波的叠加原理：两列波相独立的传播，在两列波相遇处体元的位移等于各列波单独 传播时在该处引起的位移的矢量和叫波的叠加原理。

d 2y d^u- - =V ----理论上解释：因波动方程：对于t 和x 都是线形的，若：和J 是 该方程的解，则「i 「也是方程的解。

因此，波的叠加原理与方程的线性密切相关。

二、 波的干涉1、 波的干涉：两列波满足一定条件，则两列波相遇各空间点的合振动能各保持恒 定振幅而不同位置各点以不同动能振动，这种现象称为波的干涉。

2、 波的干涉条件：(1) 两列波具有相同的振动方向； (2) 两列波具有相同的频率；(3) 两列波在空间每一点引起的振动都有固定的相位差。

简单之，即：振动方向相同、频率相同且在各空间点保持固定的相位差。

■的乘积二 一 tf女口：同频率同方向的正弦或余弦振动的合运动仍为正弦或余弦振动，合振动的振幅 由分振动振幅以及相位差决定。

光学里，常用“光程差”：如果光程差是波长的整数倍，则该处振动加强； 如果光程差是半波长的奇数倍，则该处振动减弱。

满足干涉条件的两列波，才能实现干涉现象所要求的空间各点振动强弱所具有的确 定的分布。

三、驻波1、 驻波：振动相同而传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动，称为驻波2、 驻波方程：设两列波：二-'■ ■相遇处各体元的合位移为：» 二 J 7] +尹2 =卫 COS (祖-麻)++ XX)=(2J 4COS族将：’-代入上式得：<2話y — ZZcos — cos at\ 丿丿 ⑴(1)式振动介于一 之间，(1)式就是驻波方程。

驻波方程的特点：卫 -2曲 cos^x = ±l当畑_ S 时， /(1)振幅：令「2Jcos —,对于不同处的质元，振幅不同，介于 八一〜之即：处于(2)式中]处的质元的振幅为 2A,最大振幅，称为驻波的波腹，用(A)表示。

,n心“0 当时,x -±（2? +1）彳即：处于⑶ 式中处的质元的振幅为0,最小振幅，称为相邻两波节，用(N)表示。

(2)由⑵ 式知：相邻两波腹间的距离为A由(3)式知：相邻两波节间的距离为• 由⑵,(3)式知：相邻波节和波腹之间则为:(3)相位(驻波各点振动的相位关系)(a)相邻波节之间各点质元的相位关系:2^-2J4COS——xcos mi由：^ ' ，取两相邻的波节处的质元:二⑵+ 3)才2 JF 2.4COS —x 代入驻波方程中的振幅因子得:2 T .3JT ■■ "' X' ■] = i 腐十-—"J !+12由此可知：处于两波节之间的各点的「值不是第2、3象限就是第1、4象限，即2站加“一兀川符号不变化。

由此可知：处于两波节间各点质元具有相同的相位(b)相邻两波腹处质元的相位关系：由：相邻两波腹:兀一㊁/和盂谥厂/ ”二2曲cos?真址旗由此可知：相邻两波腹的相位是相反的，又由：相邻波节之间的质元的相位相同，可以得知：波节两侧各体元的振动相位相反；波腹两侧各体元的振动相位相同。

4、驻波中的能量驻波中的能量以形变势能集中于波节附近，以动能形式集中于波腹附近，某些时刻, 动能和势能并存；总之，驻波中不断进行着动能和势能之间的转换和在波腹与波节之间的转移，然而没有能量的定向传播5、行波与驻波的区别：行波驻波波方程y=J4COS（V2 开 2 JT~y=2^cos—^S^?? = 2j4ccsfcccos^ （—下）振幅所有质元处都为A比=2A cos —x 各质元处的振幅不同：’相位山_址:各处的相位不同住E或厲+用:同相位或反相位能量由近向远传播（沿波传播方向）波节或波腹之间的能量交换和转移（没有定向的传播）经常见到的驻波是：一列前进波与它在某一界面的反射波叠加而形成的6、举例：半波损失：反射波在边界处引起的分震动比入射波在此引起的分振动在相位上落后，即：波传播中此处相距半个波长，故这种现象称半波损失。

如：一金属丝上传播波，金属丝两端固定，在固定端处将发生半波损失。

如：两端固定的弦振动，入射波与反射波在该处引起的分振动因半波损失而反相位，所以如形成驻波，两端点必是波节，设弦长为,>1W = —卷2 （n=1、2、3,）4--■■如：两端自由，反射波与入射波在该处引起的分振动无半波损失，则端点是同相位，即：端点处是波腹。

，则有如下关系:练习题：图表示某一瞬时入射波的波形图，在固定端反射，试画出此瞬时反射波的波形图。

（无振幅损失）多普勒效应（纵向）（横向多普勒效应为零）多普勒效应：由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象。

、波源静止而观察者运动讨论：静止点波源的振动在均匀各向同性媒质中传播的情况：0点为波源，相位差为'，'一“设：波相对于静止媒质以波速传播，】’：波源振动的频率，则波长：设：观测者观测到的波速•’，波长•，观测频率「，即：穿（1）当：波源和观察者都相对于媒质静止，贝-设：观测者以=相对于媒质朝波源0运动，牛_ ,,「观测到的波长‘'，观测到的波速 - V，则观测频率''*+卞』川川将丿代入得：(2)0*若：观测者背离波源而运动，贝观测到的波速-■ V，贝U：观测频率『与波源频率J的关系为:合并（2）和（3）式得:八』（1土主）v若：观测者朝波源运动，式中取正号，观测频率高于波源频率;若：观测者背离波源运动，式中取负号，观测频率低于波 源频率。