∆ϕ = (ϕ2 −ϕ1) −
2π
λ
(r2 − r1)
称
δ = r1 − r2 = ± kλ ,
δ = r1 − r2 = ±(2k +1) ,
2
λ
k = 0,1,2,3,... 干涉相长
k = 0,1,2,3,... 干涉相消
δ为
波 程 差
动
相相同 两 相干波源， 两 波 加 相干波源， 时， ，当波 为 波长 时， ，干涉相长 当波 为 波长 时 ，干涉相消 条件： ∆ ϕ = 条件：
2
叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为 简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因； 简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因； 波的叠加原理并不是普遍成立的， 波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。 守叠加原理的。 如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 这个运动就遵从叠加原理， ，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方 它就不遵从叠加原理。 程，它就不遵从叠加原理。
λ
波腹的位置为： x = k 波腹的位置为：
λ
2
,
k = 0,±1,±2,±3,...
振幅为零的点称为波节， 振幅为零的点称为波节， 2π 对应于 | cos x |= 0 即 λ
2π
λ
x = ( 2k + 1)
π
波节 波腹 的各点。 的各点。
2
波节的位置为： 波节的位置为： x = (2k +1) ,
6
A = A + A + 2 A1 A2 cos ∆ϕ , ∆ϕ = (ϕ2 −ϕ1) −
2 1 2 2ຫໍສະໝຸດ 2πλ(r2 − r1)
1.干涉加强条件 . 当
cos ∆ϕ = 1 时， 即∆ ϕ = ± 2 k π , ( k = 0 ,1, 2 ,3,...) A = Amax = A1 + A2
I = Imax = I1 + I2 + 2 I1I2
波的叠加和干涉
1
一、波的叠加原理
1.内容 1.内容 1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 .几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理。 波的独立性原理。 波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 .在相遇区域内， 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 —波的叠加原理。 波的叠加原理。 波的叠加原理
4 4
λ
2 λ
相邻的两个波节和波腹之间的距离都是 2 结论： 结论： λ 相邻波腹与波节间的距离为 3.驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是 驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波， 驻波的波形 一种特殊的振动。 一种特殊的振动。
15
4
λ 是相同的， 时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而 空间变化带来的相位是不同的。 空间变化带来的相位是不同的。
y1
t=0
x
x=0
2π
λ
x)
x)
y2
t=0
反射波 y 2 = A cos(ωt +
2π
x
x=0
λ
其合成波称为驻波其表达式： 其合成波称为驻波其表达式：
y = y1 + y2 = Acos(ωt −
2π
λ
x) + Acos( t + ω
2π
λ
x)
12
∂+β α −β 利用三角函数关系 cosα + cos β = 2 cos cos 2 2 求出驻波的表达式： 求出驻波的表达式： 2π 2π y = y1 + y2 = Acos( t − x) + Acos( t + x) ω ω
16
y = 2 A cos x ⋅ cos ωt λ 1 2 2 2 2 2π Ek = mV = 2∆VρA ω cos ( x ) sin 2 ωt 2 λ 1 ∆y 2 2 2 2π 2 2 2π E p = Y∆V ( ) = 2∆Vρu A ( ) sin x cos2 ωt λ 2 ∆x λ
y10 = A10 cos(ωt + ϕ1 )
y20 = A20 cos(ωt + ϕ 2 )
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 点引起的振动分别为：
P
r1 S1 S2
r2
λ 2π y2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 − r2 ) λ
y1 = A1 cos(ωt + ϕ1 −
2π
r1 )
点引起的振动的振幅。 A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。 点的振动为同方向同频率振动的合成。 在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
∆ϕ = ϕ B − ϕ A − 2π
u
20m
B
= −201π
λ
(rB − rA ) = −π − 200π
P点干涉减弱。 点干涉减弱。 点干涉减弱
9
两点处，初相相同， 例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同， ： 它们相距 3λ / 2，由 P、Q 发出频率为ν ，波长 ， 的两列相干波， 连线上的一点。 为λ的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求： 发出的两列波在 处的相位差。 ①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波 处干涉时的合振幅。 源在 R 处干涉时的合振幅。
3.驻波的相位 驻波的相位
y = 2 A cos
2π
x ⋅ cos ω t
考查波节两边的振幅， 如 是波节， 考查波节两边的振幅， x = λ 4是波节， 2π x ≥ 0； 在范围 − λ 4 ≤ x ≤ λ 4 内， 2 A cos λ 2π 范围内， x≤0 在 λ 4 ≤ x ≤ 3λ 4 范围内，2 A cos
5
下面讨论干涉现象中的强度分布 点的合成振动为： 在 P 点的合成振动为：
S2
v r2
p
S1
y = y1 + y2 = A cos(ωt + ϕ )
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ 2π ∆ϕ = (ϕ2 − ϕ1 ) − (r2 − r1 )
v r1
λ
由于波的强度正比于振幅的平方， 由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动 的强度为： 的强度为： I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos ∆ϕ 对空间不同的位置， 对空间不同的位置，都有恒定的 ∆ϕ ，因而合强度 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象 干涉现象。 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
3
二、波的干涉
1.波的干涉现象 1.波的干涉现象 频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两 频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两 列波（或多列波）相遇时， 列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点 振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小， 振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它 位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。 位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这 种稳定的叠加图样为干涉现象。 种稳定的叠加图样为干涉现象。
13
讨论： 讨论： 1.振幅项 2 A cos 2π 振幅项
2π
y = 2 A cos
x
2π
λ
x ⋅ cosωt
有关，而与时间无关。 只与位置 有关，而与时间无关。 λ 2π x |= 1 即 2.振幅最大的点称为波腹，对应于 | cos 振幅最大的点称为波腹，
λ
x = kπ 的各点；振幅值最大为2A。 的各点；振幅值最大为 。
λ
4
k = 0,±1,±2,±3,...
14
相邻波腹间的距离为： 相邻波腹间的距离为：
x k +1 − x k = ( k + 1) − k 2 2
相邻波节间的距离为： 相邻波节间的距离为：
λ
λ
=
λ
2
波节 波腹
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
λ =λ x k +1 − x k = [2( k + 1) + 1] − (2k + 1)
源 称 满 足 相 干 条 件 的 波
4
2.相干条件 2.相干条件
为
1.两列波振动方向相同； 两列波振动方向相同； 两列波振动方向相同 2.两列波频率相同； 两列波频率相同； 两列波频率相同 3.两列波有稳定的相位差。 两列波有稳定的相位差。 两列波有稳定的相位差
相 干 波 源 。
3.干涉加强、减弱条件 3.干涉加强、 干涉加强 其振动表达式为： 其振动表达式为： 设有两个频率相同的波源 S1 和 S2 ，
λ 2π = 2 A cos x ⋅ cosωt λ
λ
简谐振动 简谐振动的振幅 它表示各点都在作简谐振动， 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率 相同，是原来波的频率。 相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不 同而不同。 同而不同。 驻波方程： 驻波方程： y = 2 A cos
2π
λ
x ⋅ cosωt
干涉相长
2.干涉减弱条件 . 当 cos ∆ϕ = −1时，即 ∆ϕ = ±(2k + 1)π , (k = 0,1,2,3L)
A = Amin =| A1 − A2 |
I = I min = I 1 + I 2 − 2 I1I 2
干涉相消
7
当两相干波源为同相波源 时，有： ϕ1 = ϕ 2 此时相干条件写为： 此时相干条件写为：