不等式的性质和基本不等式
[优质专题]
1．不等式的基本性质
2．两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎨⎧
a －
b >0⇔a >b
a －
b ＝0⇔a ＝b
a －
b <0⇔a <b
(a ，b ∈R )
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧
a
b >1⇔a >b
a
b ＝1⇔a ＝b
a b <1⇔a <b
(a ∈R ，b >0)
3．基本(均值)不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4.(简记：和定积最大)
[优质试题]
题型一 不等式的性质应用
例1 (1)给出下列命题：
①若ab >0，a >b ，则1a <1
b ； ②若a >b ，
c >
d ，则a －c >b －d ；
③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋m
b ＋m .其中真命题的序号是________．
（2）已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )
A ．P >Q
B ．P ≥Q
C ．P <Q
D ．P ≤Q
（3）已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a
b 的取值范围．
【玩转跟踪】
1．下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1
b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a
b >1 C ．若a >b ，且a ＋
c >b ＋
d ，则c >d D ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d
2．已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．
3.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a
B ．a >c ≥b
C ．c >b >a
D ．a >c >b
题型二 基本不等式求最值
角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
例2 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 (2)若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 (3)①已知x <54，求f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值；
②已知x 为正实数且x 2
＋y 2
2＝1，求x 1＋y 2的最大值；
③求函数y ＝x －1
x ＋3＋x －1的最大值．
角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值
例3 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1
b 的最小值为________． [探究1] 本例的条件不变，则⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b 的最小值为________．
[探究2] 本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1
b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．
[探究3] 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？
题型三 均值不等式实际应用
例4 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 [玩转跟踪]
1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
[玩转练习]
1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2
D ．|a |>|b |
2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b
>0 D ．(a －b )c 2≥0
3．给出下列条件：
①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0. 其中可使b a ＋a
b ≥2成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b ≥2
5．设x >0，则3－3x －1
x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－22 C ．－1
D ．3－23
6．已知x 2－x ＋1
x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )
A ．1＋ 2
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1
b 的最小值为________．
8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1
6，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
9．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．
10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.
11．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．。