.平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________..若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，，那么为该圆的两条切线，的最小值为，(2 －43＋2 ＋B.A.－23＋2C.－4＋D.22－→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，|利用平面向量数量积求两向量夹角题型二22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹角为( )ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( )1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________.教育资料．.利用数量积求向量的模题型三baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2D.65C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________.＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________.112212＝12高考题型精练→→ABCDaABCBDCD 等于( ，∠ ＝60°，则) 1.(2015·山东)已知菱形的边长为 ·3322aa A.－－ B. 423322aa C.D. 24yxxxyy ，，，≥，≥????ab xyxy 为平面向设，}max{＝，}＝，min{记2.(2014·浙江)??yxyyxx ，，<，，<????量，则( )ababab |} |||，|，－|}≤min{|A.min{|＋ababab |} ，－|}≥min{||B.min{|＋，|||2222baabab|C.max{|＋|，－|}≤|||＋| 教育资料．.2222bbabaa |||，|－＋D.max{||＋}≥||22PyABBCBACx ，上运动，且的坐标为3.(2015·湖南)已知点⊥，，(2,0)在圆.＋若点＝1→→→PCPAPB ) ＋( ＋ |则|的最大值为B.7 A.6D.9 C.8ABACOAABOOBCAB 的垂的四等分点，过上靠近点＝1，4.如图，在等腰直角△作中，＝为→→→abOPlPOAaOBbpp )线－， 为垂线上任一点，设，则＝)，·(＝等于，＝(11 B.－ A. 2233 D.C.－ 221→→→→→→→→→OAOPAPOBOBABABABAB ) ， ＝|＋的取值范围是.若|，|<则5.在平面上，|⊥|，( |＝||＝1 2122112755] ] A.(0B.(，，222572] ，，C.(2] D.(22→→→→CBCMBMMAACBABCACBCM ) 则等于＝4，点·满足( 6.如图所示，△∠中，＝＝90°且3＝，B.3 A.2 D.6C.4yyxyyxabbaxx ，和设7.(2014·安徽)，，，为非零向量，|＝|2|，|，两组向量，，42321314yyxyabxxyx 所有可能取值中的最小值为排列而成.若··＋··＋＋均由2个和2个424123132baa ) 的夹角为4||，则( 与πππ2 D.0 C.A. B.633→→→→BPAPPDCPADABCDAB2，，，如图，在平行四边形8.(2014·江苏)中，已知＝8＝5＝3，·＝教育资料．.→→ADAB________.则的值是·ebbaeab f a均为单位向量，－，sin 的夹角为θ，记θ(.，若)＝cos 9.设非零向量θ，eeeeee ff________. ·与)＝的夹角为，则向量(()，，－且1222112→→→213OAABACACABCOBCAB________.|＝60°，则，＝3〈|如图，10.在△，中，＝为若中点，〉＝1，32x a x b x a x b∥sin 2时，求已知向量cos＝(sin )，，的值；＝(cos 当，－1).－11. 45→→DBADDABCACCABAD.10，过顶点＝作的垂线，垂足为5，，且满足12.在△中，＝＝11→→ACAB||(1)求；－→→→→kk xy AC y ABt x tACtAB. ·＝，求的最小值存在实数(2)≥1，使得向量＝＋，＝＋，令教育资料．.平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCABCDBADEF，例1 (1)(2014·天津)已知菱形，的边长为2，∠分别在边＝120°，点→→AFBEBCDCDFAE________.＝，1＝λ，则.若λ·上，3＝的值为→→PBPAPBABPAO) ，的最小值为为该圆的两条切线，( ，为切点，那么(2)已知圆的半径为1，·2 ＋2 B.－A.－43＋2＋＋22 2D.－3C.－4(2)D (1)2 答案如图， (1)解析1111→→→→→→→→→→→→→→→→ADADDCABDCBCADABBCADAFAEABBEDFAB＋＋＋)＝·＝(·＋·)·(＝(＋＋)·(＋·)33λλ1→→DCBC·λ310411142＝＋－×2×2×cos 120°＝－2＋＝2×2×cos 120°＋×2×2＋×2×2＋λ3λ33λλ33λ2 ，－3→→AFAE，＝1又∵·2102. ＝1－＝，∴λ∴3λ3→→APBxPBPA，|＝|＝θ，∠(2)方法一设||＝1θ，tan ＝则x2θ2tan－122x1－. ＝＝从而cos θ2xθ＋12tan＋12→→→→PBPAPAPB |·cos ＝||·|θ·224xxx－1－2x＝＝·22xx1＋＋1教育资料．.222xx2－＋＋＋＝2x1＋22x＝，＋1＋－－3≥2232x1＋2x＝当且仅当2＋1，→→2PBPAx3. －即2＝2－1时取等号，故2·的最小值为APB，θ<方法二设∠π＝θ，0<1→→PBPA.|则|＝|＝|θtan2→→→→PBPAPAPB·θ＝||cos ||12θ)cos ＝(θtan2θ2cos2θ2)＝·(1－2sinθ22sin2θθ222sin－sin－22.＝θ2sin2θ2xx≤1，，＝sin0<令2xx2－－→→PBPA·＝则x1x 32，＋－3≥22－＝x21xx.2＝，即＝时取等号当且仅当x2→→PBPA3.－故2·2的最小值为xOyO为坐标原点，建立平面直角坐标系方法三以，22yxO＝1则圆，的方程为＋xxyPBAxy，－0))，设(，，，)((0,1111→→222yxyxxxxyPBPAxxx. )＝－－，－2则·＋＝(－，)·(－10011110011→→yxxOAPAOAPAyx0 ⊥?)·＝(，＝)·(－，由11101x22?yxx－＋，＝01011教育资料．.22yx＋，又＝111xx1.＝所以01→→222yPAPBxxxx·－＝＋－从而211010222xxx) －2＋－＝－(110122xx3. －＋－3≥2＝2201→→PBPA3.的最小值为－22故·具二是利用坐标运算，点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，ba abab的，，的数量积与代数中.体应用哪种形式由已知条件的特征来选择注意两向量·乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.b a·b a，根据平面向量数量＝或0时得不到0＝(2)向量的数量积运算需要注意的问题：0＝22b a·b aaa|.|≤||积的性质有||＝|·|，但→→→→→OBOAOAABOA________. 变式训练1 (2015·湖北)已知向量＝⊥，则，|·|＝39答案→→→→→→→→→→→→→22OAABOAABOAABOAOAOBOAOAABOA＝＝|0 解析因为|⊥)，所以＝·＝0.所以＋·＋＝·(·＋29.3＝题型二利用平面向量数量积求两向量夹角22baabbababa与例2 (1)(2015·重庆)，＋满足|2|＝|，则若非零向量|，且(－))⊥(33) ( 的夹角为ππ B.A. 24π3 C.D. π4πabababab的夹角与，则22－与平面向量＋的夹角等于，||＝2，|＝|若平面向量(2)33的余弦值等于( )11B.－ A.262611D.－C. 1212(2)B(1)A 答案22aba·b bababaaba＝由解析(1)(－)⊥(3＋2－3，即＝)＋－()2得)·(320－＝又∵|0.|教育资料．.22bab，，〉＝|θ|，设〈322bbaa0－|||·|＝|·cos θ－2|即3|，|282222bbb0. 2||＝|－|||·cosθ－∴33π2. π，∴∴cos ＝θθ＝.又∵0≤θ≤42bbaaθ＋(2)记向量22－，与的夹角为2ba )－又(2π22，＝4×2＋3－4×2×3×cos＝133π222ba，＋4×2×3×cos ＝52＋22)＝＋4×3(322bbaababa＋(23－－)·(2＋2)＝2·，－18＋9＝－18＝baba1＋－2 ＝＝－，故cos θbbaa26＋|·||22－|1bbaa.与的夹角的余弦值是－＋即22－26说明不共数量积大于0求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)点评且两向量0线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于. 不能共线时两向量的夹角为钝角1→→→→ABACOAOABABC与上的三点，若)＝(2014·课标全国Ⅰ)已知变式训练2 (，，则，＋为圆2→AC________.的夹角为答案 90°1→→→ACAOAB＝()＋解析∵，2BCABCO中边是△的中点，∴点→→ACABBC与∴90°.为直径，根据圆的几何性质得的夹角为题型三利用数量积求向量的模babababa等于的夹角为120°，则|2＋|2|1|(1)例3 已知平面向量和，|＝，|＝，且与) ( B.4 A.2D.6C.25教育资料．.DCADBCPABCDADBCADC上的动点，则2(2)已知直角梯形，中，是腰∥＝，∠1＝90°，，＝→→PBPA________. ||＋3的最小值为(2)5(1)A 答案bbaaba 2，且的夹角为与，|120°，|＝1，|＝解析(1)因为平面向量|和22babbaa|＋＝所以|2|×|＋＋2×|2|cos 120°1??222??－2.×1＋2＝＋2×2×1×2×＝2??2yxDADCD轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别以、(2)方法一以所在直线为为原点，xDPDCa.＝＝，设xaPACaBD (0，)，，(1，∴，(0,0))(2,0)，)(0，，→→xPAxPBa ))，－＝(1，，＝(2，－→→xPAPBa )＋3＝(5,3，－∴4→→22xPAPBa )25＋(3≥25，－|3＋4|＝→→PBPA 5. ∴||＋3的最小值为→→xDPxDC ＝<1)设(0<，方法二→→DCPCx ＝(1－，∴)→→→→→xDCDPDAPADA ＝－，＝－1→→→→→DADCxPBPCCB ＋＝)＋(1＝－， 25→→→→DCxPAPBDA )＝，＋(3－4∴＋3 2255→→→→→→→222222DCxDCxDAxDCDAPAPB )≥25，·＝25＋(3|3＋－|＝＋2××(3－4)4·＋(3－4) 24→→PBPA 5.∴||＋3的最小值为如向量给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，22aa xyx a y 即可求解.(2)＝求向量＝(，)，的模只需利用公式||＋向量不放在坐标系中研究， 教育资料．.求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是2aaa .|会把向量＝的模进行如下转化：|1ebeebee ··满足＝已知，.是平面单位向量，且若平面向量变式训练3 (2015·浙江) 111222beb ________. |＝＝·|＝1，则232 答案31eebebeeeee ，的夹角为60°.又因为＝与·解析 因为||＝|·|＝1且＝·.＝所以1 212211122ebeebbebeeeb 30°，所－与－).·＝0，即⊥(·(所以－的夹角为)＝0，所以所以·1121122eebb 1. ·＝以||cos 30°＝|·|1132b .|所以|＝3 高考题型精练→→CDaABCBDABCD ) ，∠＝60°，则( ·1.(2015·山东)已知菱形 的边长为等于3322aa B.－ －A. 423322aa C.D. 24D答案BCDCDaaBC ＝，＝120°.解析 如图所示，由题意，得＝，∠1??222222??aaBDaBCaCDBCCDa － －2＝2···cos 120°＝×＋＝3＋，－ ??2aBD . ＝∴333→→→→22aBDBDCDaCD .×|＝3＝||∴·|cos 30°＝ 22yxxxyy ，，，≥≥，????axxyyb 为平面向，}＝记2.(2014·浙江)max{，}＝设，min{??yxyxxy ，，<<，，???? 教育资料．.)量，则(baabab|} ||，|，－A.min{||＋|}≤min{|bababa|} ，||－，B.min{||}≥min{|＋||2222bababa |C.max{||＋||，|＋－|}≤|2222bbaaba |}≥||||，|＋－D.max{||＋D答案baababab夹，错.当|解析由于|的大小关系与夹角大小有关，故＋A|，|，－B|与||，|222abaababababab|<|＋|>|＋|＋|夹角为钝角时，|>|－||，此时，|；当角为锐角时，||＋，2222222baaababbbabba D. ＋|||＝，故选－，此时，||－－||>||＋|||；当＝⊥时，||＋|22PABBCABCxy，⊥.若点)3.(2015·湖南已知点1，上运动，且，(2,0)在圆＋的坐标为＝→→→PCPAPB) 的最大值为＋( ＋则||B.7 A.6D.9C.8B答案22BCABBACxy⊥1＝，，上，且在圆＋，解析∵→→→→22PBxxxBPAACPCPOyy＝1,1]，－(4,0)，设(1，)，则且＋∴∈[－为圆直径，故＋2＝＝＝yx，，)(－2→→→→→→xyPBPAPCxPCPBxPA，71∴49＋＋(＝，－6|).故时有最大值＋＋＝|＝－12＋37，∴＝－B.故选ABACOBABOOAABC的垂作上靠近点的四等分点，过如图，在等腰直角△中，＝＝1，为4.→→→abOBpOPpbaOAPl)＝，＝，则等于·(－)( 线，为垂线上任一点，设＝，11B. A.－2233D.C.－22A答案yOBOAx以解析，轴，所在直线分别作为轴，教育资料．.O为坐标原点建立平面直角坐标系，13CBA，，(0,1)，)(则(1,0)，4431xly的方程为－－＝直线，441yx0.即－－＝211xxxPx p设，(，，－)，则－＝()22ab (－而1,1)－，＝11x p x ba.－＝－)＝－－＋所以·(()221→→→→→→→→→OAABABABOBOBAPABOP)| 的取值范围是( |<5.在平面上，，⊥，|||＝则|＝1，＝|＋|.若2112212755] ，A.(0B.(，] 222572] 2] C.(，D.(，22D答案1OBBOP.，为圆心，在以为圆心的单位圆上，点为半径的圆的内部由题意，解析知在以212→→→→→ABAPABABAB＝，，又＋⊥2211BBA所以点为直径的圆上，在以21→OAPO，|取得最大值当2与|点重合时，71→OAP |，当取得最小值在半径为的圆周上时，|22D.故选→→→→CBMABMCMMBCACBABCAC ( )则点4△6.如图所示，中，∠＝90°且＝＝，满足＝3，·等于教育资料．.B.3 A.2D.6C.4C答案→BMABACBACBCABABC＝，且4，所以＝45°.因为＝解析在△＝中，因为∠4＝90°且2＝＝333→→→→→→→→→→→→→→22CBCBBACBCBBMCBMABMBACMCBCBBM2＋＋＝·.所以··×4＝(＝＋＝)·＋3＝，所以16444×4cos 135°＝4.abbaxxxxyyyy，，，)设，，，为非零向量，|，|＝2|和|，两组向量7.(2014·安徽41242331abxyxyxyxy 所有可能取值中的最小值为＋··均由2个·和2个若排列而成.＋·＋442313212baa) 与4|的夹角为|，则(ππ2π D.0 A. C. B.633答案 Babxy i ab S排列而成，记和21,2,3,4)均由与2的夹角为θ，由于，个(个＝解析设ii4 xy S有以下三种情况：＝) (，则·iii＝12222bb S aab S ab S a.|＝|＋①|＝2＋＋22；②|＝4··；③2222aba S a S a S a. θ|，∴①中cos ＝10|||，②中＝8|＋|cos θ，③中4|＝∵|5||＝2||π122aa B.＝，故选θ＝，可求易知②最小，即8|＝|cos θ4|θ|，∴cos 32→→→→BPAPABADCPPDABCD，＝8，·＝5中，已知，＝32，8.(2014·江苏)如图，在平行四边形＝→→ADAB________.·的值是则22答案1111→→→→→→→→→→→→→→→→→ADABABBPABAPABADDPCPPDDCABAPADDPAD＝解析由，＝3＝，得＝－＝＋，－＝＋＋＝＝444433131→→→→→→→→→→→22ABADADABADAPBPABADABAB又因为·＝)·(－－)＝2，即－2..因为·2＝，所以(＋－164244→→→→22ADADABAB22.·＝64，所以＝25＝，ebaeb f baa均为单位向量，，.－＝θ9.设非零向量，的夹角为，记(，)cosθsin θ若21教育资料．.3eefeeeef________. ，则向量，－((，的夹角为且·)与＝)1222112π答案2ee33·21eeee＝，由，·〉＝，可得＝cos〈解析2211ee2||||221ππ5eeeeee.故〈π，－〈〉＝，〈，，－〉＝〉＝112221661ππ3eefeeee－－(，，sin )＝＝cosπ5πeeeeefe. cos2212112626315＝－(－(，－－)＝)sin 211221226631331eefeeeeefeee(＝0， )(－)·(，－，－)·)＝＝－(·122111212222222eefeef).所以)⊥(，－，(1221πeefefe.故向量()，，－)与的夹角为(12212→→→OABCABACABACABCO________.|3，〈|，10.如图，在△＝中，〉为若中点，＝60°，＝1，则＝13 答案 2113→→→→→→→→ABAOABACABACABAC(|·|＝|cos 解析因为〈60°＝1×3×，＝60°，〉所以＝·，＝|又22211113→→→→→→→→→→22222OAAOABACABABACACAOAC|＋9)＝·＋，所以)，即|＝＋)，所以(1＝(＋＋)＝(3＋2444413. ＝23xbax1).＝(cos 11.已知向量(sin ＝，－，)，42xaxb(1)当∥sin 2时，求cos的值；－acabbABCABCbafx，若)·，，已知在△中，内角的对边分别为＝)2(，＋，，(2)设函数(π6πxxAfBb. )(＋的取值范围，求(∈[0，)＋4cos(2＝3，＝2，sin ])＝3633xxab0.＋因为∥sin ，所以cos ＝解 (1)43x.tan ＝－所以42xxx cos －cos2sin 2xx－cos＝sin 2故22xx cos＋sin 教育资料．.x8－2tan 1. ＝＝2x5＋tan1b x ab f )＝2()·(2)＋(1xxx1)＋cos ，－，－)·(cos ＝2(sin 43xx＝sin 2＋＋cos 223πx.＋)＝2sin(2＋24ba由正弦定理，得＝，BA sin sin6×33Ba2sin A. ＝＝＝所以sin b22πππ3AaAAb.＝或，所以＝所以.因为＝>4441ππxAfx.－)＋4cos(2＋＋)＝所以2sin(2()246ππππ11xx].，因为＋∈[0，]，所以2∈[1243413πAxf. －＋－1≤)≤(所以4cos(2)＋226213πAxf1，2－－＋)的取值范围为].所以([)＋4cos(26225→→ABCACCABDADADDB.5的垂线，垂足为，且满足12.在△，中，＝10，过顶点＝作＝11→→ABAC|；－(1)求|→→→→t x ABtAC y tABACk xy k的最小值＝，，求＝·＋(2)存在实数，令≥1，使得向量. ＝＋5→→ADDBABD三点共线，，解(1)由，＝，且115→→ADDBADDB＝11.＝＝|5|.又可知|，所以|11222ADACADCCD－，在Rt△＝中，＝75222CDDBBDCBC＝196＝＋，在Rt△中，BC14.所以＝→→→CBACAB14.|所以|－||＝＝→→→BCABAC14.|16|(1)(2)由，知|＝，|＝||10，＝教育资料．.＋16－A.22211410由余弦定理，得cos ＝＝22×10×16→→→→ACABtABtAC yx＋，＋＝＝，由yx k知·＝→→→→ACtACtABAB) )·(＝(＋＋→→→→222ACABtABtACt＝＋||＋(|＋1)·|12ttt ＋＝256100＋(＋1)×16×10×22tt80.＝＋35680＋ [1由二次函数的图象，可知该函数在，＋∞)上单调递增，kt516. 取得最小值＝1时，所以当谢！以修改载后可编辑。