2015-2016学年江西省吉安一中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1．复数=（）A．i B．﹣i C．D．2．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．83．已知a，b∈R，则a＞b是的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．下列参数方程（t为参数）中，与方程y2=x表示同一曲线的是（）A．B．C． D．5．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）6．已知函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极大值﹣3，则ab等于（）A．2 B．3 C．6 D．97．用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于28．若直线l的参数方程为，则直线l倾斜角的余弦值为（）A．B． C．D．9．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）10．设0＜x＜1，a、b为正常数，则的最小值为（）A．4ab B．2（a2+b2）C．（a+b）2D．（a﹣b）211．已知抛物线（t为参数）的焦点为F，则点M（3，m）到F的距离|MF|为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设直线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，左焦点F（﹣c，0）在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是．14．若关于x的不等式a≥|x+1|﹣|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是．15．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．16．给出下列四个命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”；②在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α⊥β=n，m⊥n，那么m⊥β；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，若方程f（x）=x+a有两个不同实根，则a的取值范围为（﹣∞，1）．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=．（1）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．19．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．20．通过随机调查某校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关，得到如下的列联表：抽取一个容量为5的样本，问样本中文科生与理科生各多少人？（2）从（1）中抽到的5名学生中随机选取两名访谈，求选到文科生、理科生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“文理分科与性别”有关？21．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年江西省吉安一中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1．复数=（）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A2．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．8【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是．故选B．3．已知a，b∈R，则a＞b是的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据指数函数为单调递减函数，即可判断出结论．【解答】解：由题意得，根据指数函数为单调递减函数，则当a＞b时，成立的；当时，a＞b是成立，∴a＞b是的充要条件，故选：C．4．下列参数方程（t为参数）中，与方程y2=x表示同一曲线的是（）A．B．C． D．【考点】抛物线的参数方程．【分析】通过判断A，C，D项y≥0与题设中函数的值域不一致，推断出于题设中的方程表示的不是同一条直线，只能选B．【解答】解：A，C，D项中y≥0，而题设中函数y的值域为全体实数，故A项中的方程与方程y2=x表示的不是同一曲线，均排除．通过B项中的方程组可求得y和x的关系式为y2=x符合题意故先B．5．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B6．已知函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极大值﹣3，则ab等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数求导，根据函数在x=1处有极大值3，得到函数在1处的导数为0，且此处的函数值是3，列出关于字母系数的方程组，解方程组即可．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2，可得f'（x）=12x2﹣2ax﹣2b，函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极大值﹣3，可得：，解得a=3，b=3∴ab=9．故选：D．7．用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于2【考点】反证法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“a、b都小于2”，从而得出结论．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b 都小于2”，故选C．8．若直线l的参数方程为，则直线l倾斜角的余弦值为（）A．B． C．D．【考点】直线的参数方程．【分析】先求直线L的普通方程，由方程可得直线的斜率k，即tanθ的值，结合θ的范围，根据同角基本关系可求cosθ【解答】解：∵直线l的参数方程为，∴，即，∴直线L的普通方程为4x+3y﹣10=0直线的斜率k=即∴∴==故选：B9．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．10．设0＜x＜1，a、b为正常数，则的最小值为（）A．4ab B．2（a2+b2）C．（a+b）2D．（a﹣b）2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先因为已知0＜x＜1，a、b为正常数，故可设参量方程x=cos2α，然后代入不等式化简，根据三角函数求最值的方法即可得到答案．【解答】解：因为0＜x＜1，a、b为正常数，即可设x=cos2α，则1﹣x=sin2α化简不等式=a2（1+tan2α）+b2（1+cot2α）≥a2+b2+2ab=（a+b）2故最小值为（a+b）2，故选C．11．已知抛物线（t为参数）的焦点为F，则点M（3，m）到F的距离|MF|为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】参数方程化成普通方程．【分析】抛物线（t为参数）化为普通方程：y2=4x．利用抛物线的定义即可得出．【解答】解：抛物线（t为参数）化为普通方程：y2=4x．可得焦点F（1，0），则点M（3，m）到F的距离|MF|=3+1=4．故选：D．12．设直线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，左焦点F（﹣c，0）在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：双曲线的渐近线y=±x，准线x=±，求得A（﹣，），B（﹣，﹣），左焦点在以AB为直径的圆内，得出﹣+c＜，∴b＜a，∴c2＜2a2∴1＜e＜，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先计算三位同学都未解出的概率，再利用对立事件概率公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，三位同学都未解出的概率为=∴发扬团队精神，此题能解出的概率是1﹣=故答案为：14．若关于x的不等式a≥|x+1|﹣|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由于||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，即有﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，由存在性问题的结论，则a≥﹣3．【解答】解：由于||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，即有﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，由于关于x的不等式a≥|x+1|﹣|x﹣2|存在实数解，则a≥﹣3．故答案为：[﹣3，+∞）．15．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先将原极坐标方程ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标．【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：．16．给出下列四个命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”；②在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α⊥β=n，m⊥n，那么m⊥β；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，若方程f（x）=x+a有两个不同实根，则a的取值范围为（﹣∞，1）．其中正确命题的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接写出命题的否定判断①；由已知条件判断出m与β的关系判断②；由三角函数的图象平移结合诱导公式化简判断③；由分段函数的解析式得到函数在不同区间段内的解析式可得使方程f（x）=x+a有两个不同实根的直线y=x+a的截距的范围．【解答】解：对于①，命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，命题①错误；对于②，在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α⊥β=n，m⊥n，那么m与β的关系是m∥β或m⊂β或m与β相交，命题②错误；对于③，将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=cos（）=sin（2x﹣）的图象，命题③正确；对于④，函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，当x≤0时函数f（x）=；当x＞0时，f（x）=f（x﹣1），当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）=21﹣x﹣1，x∈（0，1]，类推有f（x）=f（x﹣1）=22﹣x﹣1，x∈（1，2]，…也就是说，x＞0的部分是将x∈（﹣1，0]的部分，周期性向右推移1个单位长度得到的，若方程f（x）=x+a有两个不同实根，则a的取值范围为（﹣∞，1）．命题④正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=．（1）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】（1）由|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，然后构造函数y=|x+1|+|x﹣2|，在同一坐标系内画出函数y=|x+1|+|x﹣2|与y=5的图象得答案；（2）函数f（x）的定义域为R，说明当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，然后结合绝对值的几何意义求得a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a ≤3，即a ≥﹣3．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为（3，），求|PA |+|PB |．【考点】直线的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把两边同时乘以ρ，把 x=ρcos θ，y=ρsin θ 代入可得圆C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 t 2﹣3t +4=0，根据直线l 的参数方程中参数的几何意义可得|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2，再利用一元二次方程根与系数的关系求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由得 x 2+y 2﹣2y=0 即 x 2+=5．（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得+=5，即 t 2﹣3t +4=0．由于△=﹣4×4=2＞0，故可设 t 1、t 2是上述方程的两实根，所以．直线l 过点P （3，），故由上式及t 的几何意义得：|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．19．命题p ：关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x +a 2＜0的解集是空集，命题q ：已知二次函数f（x ）=x 2﹣mx +2满足，且当x ∈[0，a ]时，最大值是2，若命题“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数a 的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p ：由关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x +a 2＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p 的取值范围．由已知得二次函数f （x ）=x 2﹣mx +2的对称轴为，可得m ，可得f （x ）=x 2﹣3x +2，当x ∈[0，a ]时，最大值是2，由对称性知a 的取值范围．由命题“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，可知：p ，q 恰一真一假．【解答】解：对于命题p ：∵关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x +a 2＜0的解集是空集，∴△=﹣3a 2﹣2a +1≤0，解得，由已知得二次函数f （x ）=x 2﹣mx +2的对称轴为，即，∴m=3，f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知q：0＜a≤3．由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．当p真q假时，，∴a≤﹣1或a＞3，当p假q真时，，∴，综上可得，．20．通过随机调查某校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关，得到如下的列联表：抽取一个容量为5的样本，问样本中文科生与理科生各多少人？（2）从（1）中抽到的5名学生中随机选取两名访谈，求选到文科生、理科生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“文理分科与性别”有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）女生中按文理采取分层抽样，比值为3：2，可得样本中文科生与理科生的人数；（2）确定基本事件的情况，利用古典概型概率公式，可求概率；（3）计算统计量k2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）女生中按文理采取分层抽样，比值为3：2，所以容量为5的样本，文科生3人，理科生2人；…（2）设三名文科生分别为文1、文2、文3，两名理科生分别为理1、理2，则从中任选两人结果为（文1，文2）、（文1，文3）、（文1，理1）、（文1，理2 ）、（文2，文3）、（文2，理1）、（文2，理2）、（文3，理1）、（文3，理2）、（理1，理2）共10种情况，其中一文一理的共6种．∴…（3）K2==16＞6.635，∴有99%的把握认为“文理分科与性别”有关．21．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．【解答】解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，又e=，∴=，∴a2=2所以椭圆C的方程是+y2=1．…（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1①若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是②…由①②解得．由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵=（x1，y1﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k2+1）x1x2﹣（x1+x2）+=∴，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…22．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为2016年11月10日。