行列式典型例题
1
0
0
0
an 0 0 0
xn an (n 1)
这种形式的行列式简称“两边加一对角线”
行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行 列式而求得其值，所以
1
a1
a2
a3
an
a1 x1 a2 x2 a3 x3
an xn
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
Dn
11
D2 a1
a2
a2 a1 (ai a j ),
1 ji2
当 n 2 时（1）式成立．
假设设1） 对对 n 1阶范德蒙行列式成立，
Vn
1
1
1
0
a2 a1
a3 a1
0 a2 (a2 a1) a3 (a3 a1)
0 a2n2 (a2 a1) a3n2 (a3 a1)
例3 计算n阶行列式
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3
an
a1 a2 a3 xn
加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素 外分别是某个数的倍数.
x1 a2 a3
a1 x2 a3
D n
a1
a2
x3
a1 a2 a3
an an an
xn (n)
1 a1 a2 a3
0 x1 a2 a3
0
a1
x2 a3
0 a1 a2 x3
0 a1 a2 a3
an
an
an
an
xn (n 1)
1
a1
a2
a3
1
x1 a1
0
0
1
1
0
x2 a2
0
0
0
x3 a3
Dn
1 [(x 2
a)n
(x
a)n ]
（2）
例5
计算n阶行列式
x a a a
a x a a
Dn a a x a
a a a x
解法1 化为三角行列式
此题的特点与§2例6相同. 把各行都 加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a， 得
1 1 1 a x a
Dn [x (n 1)a] a a x
a a a
1
(-a)
a
(-a)
a
(-a)
x
1 1 1
0 xa 0
[ x (n 1)a]
0 0 xa
[ x (n 1)a]( x a)n1
解法2 化为两边加一对角线行列式
x a a a x a
Dn a a x
a a a
[ x (n 1)a]( x a)n1
例6 计算行列式
21 0 0 0 12 1 0 0 01 2 1 0 Dn 00 2 1 00 1 2
解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将 两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.
2 2 2
n1
V n n! 13Biblioteka 3 3 2 n1 .
1
n
n n 2
n1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
V n n! (ai a j) 1 ji n n!(2 1)(3 1) (n 1)
• (3 2)(4 2) (n 2) [n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)! 2!1!.
第五节 典型例题
n阶行列式的计算是学习线性代数的基础， 在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌 握的基本方法是：
1. 用n阶行列式的性质把一般行列式化成 特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。
2. 用n阶行列式的展开定理，把行列式按 某一行（列）展开，即化高阶行列式为低 阶行列式来计算。(Laplace定理)
解
将左上角的x改写为(xa)＋a，第一列的(a)均 改写为0＋( a)，于是第一列各元素均为两项 之和，于是
xa a a
0 x a
Dn 0 a
x
0 a a
a a a a
a a x a
a a a a
x a a x
即
3. 其他方法：对于具有特殊形式的行列式， 有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.
例1 证明范得蒙(Vandermonde)行列式
1 1 1
a1 a2 an
Vn
a2 1
a2 2
a2 n
(ai a j )
(1)
1 jin
a a a n1 1
n1
2
n1
n
证明 用数学归纳法
2 1 0 0 0 0 3/2 1 0 0 0 0 4/3 1 0 0 0 21 0 0 12
=…=
21 0 0
0
0 3/2 1 0
0
0 0 4/3 1
0
0 0 (n 1) / n 1
00
0 (n 1) / n
p1 2,3;
p 1,2,3,4,5; 2
p3 1,2,3,4,5;
p 2,3; 4
p5 2,3.
因为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述可能取的代码中,
一个5元排列也不能组成，
故 D5 0.
例2 计算
1 1 1
2 22 2n V n 3 32 3n .
n n2 nn
解 Dn中各行元素分别是一个数的不同方幂,方幂
次数自左至右按递升次序排列，但不是从0变到 n 1,而是由1递升至n.若提取各行的公因子，则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到
1111
1
2
Vn (a2 a1)(a3 a1) (an a1) (ai a j ) 2 jin
(ai a j ). 1 jin
注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, …, an中至 少有两元素相等.
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。
1 a a a 0 x a a Dn Dn1 0 a x a
(-1)
(-1)
(-1)
0 a a x
1 a a
1 x a 0
1 0 x a
1 0 0
把行列式的第2、 3、···、n+1列分
i 1
xi )(1)n (1
n i 1
ai ) ai xi
n
( xi ai )(1
i 1
n i 1
ai ) xi ai
0
1 (n
例4
计算n阶行列式
x a a a
a x a a
Dn a a x a
a a a x
=n+1.
例7 用行列式定义计算
0 a12 a13 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 D5 a31 a32 a33 a34 a35 0 a42 a43 0 0 0 a52 a53 0 0
解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p4 , a5 p5 , 那么，由D5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
2 1 0 0 0 (1)
12 1 0 0
2
01 2 1 0 Dn
00 2 1
00 1 2
2 1 0 0 0 0 3/2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 21 0 0 12
( 2) 3
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
(n 1)
n
1
ai
i1 ai xi
a1 a1 x1
a2 a2 x2
a3 a3 x3
0
1
0
0
an an xn
0
0
0
1
0
0
n
(ai xi )
i 1
0
0
0
1
0
0
0
0
n
(ai
1
a
别提出公因子x-
xa
a，得
1 1
1 0
a 0 0 xa a xa 0 1
1 na a
a
a
xa xa xa
xa
0
1
0
0
(x a)n 0
0
1
0
