2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.【重点知识梳理】知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理公式asin A=bsin B=csin C=2Ra2=b2+c2-2bc cos A;b2=c2+a2-2ca cos B;c2=a2+b2-2ab cos C常见变形(1)a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C;(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(4)a sin B=b sin A,b sin C=c sin B,a sin C=c sin Acos A=b2+c2-a22bc;cos B=c2+a2-b22ac;cos C=a2+b2-c22ab2.S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B=abc4R=12(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin A +B 2=cos C 2;(4)cos A +B 2=sin C 2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ;b =a cos C +c cos A ;c =b cos A +a cos B . 3.在△ABC 中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B . 【典型题分析】高频考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】【2020·江苏卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,2,45a c B ===︒. (1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.【解析】(1)在ABC △中,因为3,2,45a c B ===︒,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得2922325b =+-⨯︒=, 所以5b =在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=, 52, 所以5sin C =(2)在ADC △中,因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角,而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角. 故225cos 1sin C C =-则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-,所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=,sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 【举一反三】(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc=( )A .6B .5C .4D .3【答案】A 【解析】∵a sin A -b sin B =4c sin C , ∴由正弦定理得a 2-b 2=4c 2,即a 2=4c 2+b 2.由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-(4c 2+b 2)2bc =-3c 22bc =-14,∴bc =6.故选A 。
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .设(sin B -sin C )2=sin 2A -sin B sin C. ①求A ;②若2a +b =2c ,求sin C.【解析】①由已知得sin 2B +sin 2C -sin 2A =sin B sin C ,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc . 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为0°<A <180°,所以A =60°.②由①知B =120°-C ,由题设及正弦定理得2sin A +sin(120°-C )=2sin C ,即62+32cos C +12sin C =2sin C ,可得cos(C +60°)=-22. 由于0°<C <120°,所以sin(C +60°)=22, 故sin C =sin(C +60°-60°)=sin(C +60°)cos 60°-cos(C +60°)sin 60° =6+24. 【方法技巧】解三角形问题,关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化,三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式,二倍角公式等,作为化简变形的重要依据.【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos C 2=55,BC =1,AC =5,则AB =( )A .4 2B.30C.29 D .25【答案】A【解析】∵cos C 2=55,∴cos C =2cos 2C 2-1=2×⎝⎛⎭⎫552-1=-35.在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =52+12-2×5×1×⎝⎛⎭⎫-35=32, ∴AB =4 2.【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。
【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6. ①求角B 的大小;②设a =2,c =3,求b 和sin(2A -B )的值. 【解析】①在△ABC 中,由正弦定理a sin A =bsin B ,可得b sin A =a sin B .又由b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6,得a sin B =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6, 即sin B =cos ⎝⎛⎭⎫B -π6,可得tan B = 3. 又因为B ∈(0,π),所以B =π3.②在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =7,故b =7. 由b sin A =a cos ⎝⎛⎭⎫B -π6,可得sin A =37. 因为a <c ,所以cos A =27.因此sin 2A =2sin A cos A =437,cos 2A =2cos 2A -1=17.所以sin(2A -B )=sin 2A cos B -cos 2A sin B=437×12-17×32=3314. 高频考点二 与三角形面积有关的问题【例2】【2020·北京卷】在ABC △中,11a b +=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,求: (Ⅰ)a 的值:(Ⅱ)sin C 和ABC △的面积.条件①:17,cos 7c A ==-; 条件②:19cos ,cos 816A B ==.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 【解析】选择条件①(Ⅰ)17,cos 7c A ==-,11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=(Ⅱ)2143cos (0,)sin 1cos 7A A A A π=-∈∴=-=,由正弦定理得:73sin sin sin sin 43a c C A C C ==∴=113sin (118)86322S ba C ==-⨯=选择条件②(Ⅰ)19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈,223757sin 1cos 1cos A A B B ∴=-==-=由正弦定理得:6sin sin 3757a b a A B === (Ⅱ)3795717sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=117157sin (116)622S ba C ==-⨯=【举一反三】(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为____________.【答案】63【解析】法一:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×43×23×sin π3=6 3.法二:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cosπ3,得c =23,所以a =43,所以a 2=b 2+c 2,所以A =π2,所以△ABC 的面积S =12×23×6=6 3. 【方法技巧】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解. (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.【举一反三】(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A +C2=b sin A 。