第七讲正余弦定理一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边二．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形【套路秘籍】---千里之行始于足下关系式 a ＝b sin A b sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解一解一解三.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．四．测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比考向一 正余弦公式选择【例1】（1）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝ .（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝23，C ＝30°，则B ＝ . （3）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .【举一反三】1.已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A.2B.1C. 3D. 2【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.考向二 正余弦定理的运用【例2】（1）在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为________．（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为 ．【举一反三】1．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bsin(A +π3)=asinB ，则角A 等于（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若asinBcosC +csinBcosA =0.5b ，a >b ，则B = （ ） A ．30∘ B ．60∘C ．120∘D ．150∘【套路总结】正余弦定理运用：边角互换1. 边的一次方或角的正弦---正弦定理3．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sinA ，则角B 的大小为____．考向三 三角形的面积【例3】已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋2c ＝2b cos A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【举一反三】1.设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝23，c ＝3，C ＝2π3，则△ABC的面积为________．2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C . (1)求C 的大小；【套路总结】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)若b ＝2a ，且△ABC 的面积为23，求c 的值．考向四 判断三角形的形状【例4】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a 2c，则△ABC 的形状一定是________．【举一反三】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为______________．【套路总结】判断三角形形状的两种思路1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。

此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论。

2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为________．考向五 三角形个数判断【例5】在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有 个．【举一反三】1.在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况为________．【套路总结】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考向六 求解几何计算问题【例6】 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【举一反三】1．若E ，F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ .2.如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝17。

(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长。

考向七生活实际运用【例7】（1）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.（2）海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.（3）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°【举一反三】1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里2.一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为( )A.4003m B.40033mC.20033m D.2003m3.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m1．在ABC ∆中，60C =︒，2AC =，3AB =，则A =（ ）A ．15︒B ．45︒C ．75︒D ．105︒2．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为（ ）A ．630kmB ．125km C ．156kmD ．152km3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ΔABC =√3, 求a+b+csinA+sinB+sinC=( )A ．√3B ．√39C ．2D ．2√3934．在 △ABC 中，若a 2−(b−c )2bc=1，则 ∠A 的大小是( )【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．在ΔABC 中，已知a−cb−c =ba+c ，则角A 为（ ） A ．30∘ B ．60∘ C ．120∘ D ．150∘6．已知a,b,c 分别是ΔABC 的内角A,B,C 的对边，bcosA =(2c −a)cosB,c =4,a =2，则ΔABC 的面积是（ ）A ．12B ．√32C ．1D ．2√37．在ABC ∆中，5a =，7b =，8=c ，则ABC ∆的面积为__________8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知58a b =，2A B =，则sin 2A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.9．在ABC 中，三边长分别为3,22,5a b c === ,其最大角的余弦值为_________, ABC 的面积为_______.10．在ABC 中，已知3AB =，2=BC ，若1cos()2C A -=，则sin B =________________．11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________．12．在ABC ∆中，32=AB ，2=AC ，90A ∠=︒ ,则ABC ∆的面积S 是___________．13．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ⃑⃑ =(cos 3A 2,sin3A2)，n ⃑ =(cos A 2,sin A2)，且满足|m ⃑⃑ +n ⃑ |=√3.则∠A =__________．14．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若2sin 2A +c (sinC −sinA )=2sin 2B ，且ΔABC 的面积S =14abc .则角B =__________．15．ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosB −bcosA +2c =0，则tanAtanB __________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(8−c )cosB =bcosC ，c =3，a =4，平面内有一点D 满足AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则线段BD =________. 17．在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若sinA−sinCb+c=sinB−sinCa，则B =______．18．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.19．在△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C −sinBsinC ，则角A 的大小为____．20．在ΔABC 中，已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC +csinB ，则角B 为__________.21．在ΔABC 中，AC =3，BC =2√3，A =2B ，则sinC =_________．22,。