高考数学专题--正余弦定理及解三角形高考考点：1、利用正、余弦定理解三角形2、解三角形的实际应用3、解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3cos sin 3b a C a C =+.(1)求A ; (2)若3a =,2bc =,求ABC △的周长.【解析】(1)3cos sin 3b a C a C =+,3,sin sin cos sin sin 3B A C A C ∴=+由正弦定理得,3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C ∴+=+,tan 3A =即,()0πA ∈又，,∴π3A =.(2)22π,32cos3b c bc =+-由余弦定理得,()233b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=,故33ABC +△的周长为.调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin cos C cBb =.(1)求角B 的大小;(2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若π85π,2,5,25CD AD a θ<<===,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知3sin cos C c Bb =,得3sin sin cos sin C CB B =, 因为sin 0C >,所以sin 3tan cos 3B B B==, 因为0πB <<,所以π6B =.(2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠,所以8525sin sin B BDC=∠,所以25sin 5θ=,因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以()25cos cos π1sin 5ADC θθ∠=-=-=,在ADC △中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255b AD CD AD CD θ=+-⨯-=+-⨯⨯=,所以5b =.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二 与三角形面积有关的问题调研3 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长；(2)求ABC △的面积．【解析】(1) 在ABC △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x .在BCD △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在ACD △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝222525x x +-⨯⨯.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，＝－52x ，解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BCBD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三 三角形形状的判断调研4 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+. (1)求A ;(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c =+得,sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++sin cos sin sin A C A C C ⇒-=,∵sin 0C >,()1cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=,∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1sin 42S bc A bc ===,由余弦定理得:2222cos a b cbc A =+-=()23b c bc +-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==,∵60A =︒,∴60B C ==︒, 故ABC △是等边三角形. ☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. 考点2 解三角形的实际应用 题组 解三角形的实际应用调研1 某新建的信号发射塔的高度为AB ,且设计要求为:29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得60BDC ∠=︒,75BCD ∠=︒,40CD =米,并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°,且1CE =米,则发射塔高AB = A ．()2021+米B ．()2061+米 C ．()4021+米 D ．()4061+米【答案】A【解析】画出草图,如图所示,在BDC △中,45DBC ∠=︒,由正弦定理得sin 206sin BDCBC CD DBC ∠=⨯=∠米;在AEF △中,30AEF ∠=︒,所以tan30202AF EF =︒=米, 所以1(2021)AB AF =+=+米.选A ．☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度． 调研2 海中一小岛C 的周围()838nmile-内有暗礁,海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒,航行8nmile 后,于B 处测得小岛C 在北偏东60︒(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B 处改变航向为东偏南(0αα>)方向航行,求α的最小值. 附:tan7523︒=+.【解析】(1)如图1,过点作直线AB 的垂线,交直线AB 于点D .由已知得15,30,15A CBD ACB ∠=︒∠=︒∠=︒, 所以8nmile AB BC ==,所以在Rt BCD △中,sin CD AB CBD =⋅∠=184nmile 2⨯=.又4838<,所以海轮有触礁的危险. (2)如图2,延长CD 至E ,使()838nmileCE =,故()8312nmileDE =,由(1)得43nmile tan30CDBD ==︒,所以83tan 2343DE DBE BD ∠===.因为tan7523︒=+所以tan152323︒==-+.即tan tan15DBE ∠=︒,所以15DBE ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行. ☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步． 考点3 解三角形与其他知识的交汇问题 题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c ABC=△的面积为33又tan tan A B +)3tan tan 1.A B =-(1)求角C 的大小; (2)求a b +的值.【解析】(1)因为)tan tan 3tan tan 1,A B A B +=-所以()tan A B +=tan tan 3,1tan tan A BA B +=--又因为,,A B C 为ABC △的内角,所以2π,3A B +=所以π.3C =(2)由133sin 22ABC S ab C ==△及π,3C =得6,ab =又()2222221cos 222a b c ab a b c C ab ab +--+-===,7,2c = 所以11.2a b +=题组二 解三角形与平面向量相结合调研2 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且0AD AC ⋅=,22sin 3BAC ∠=,32AB =,3BD =．(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【解析】(1)因为0,AD AC ⋅=所以,AD AC ⊥所以πsin sin cos ,2BAC BAD BAD ⎛⎫∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭即22cos BAD ∠=． 在ABD △中,由余弦定理,可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即28150,AD AD -+=解得5,AD =或3AD =． 因为,AB AD >所以3AD =．(2)在ABD △中,由正弦定理,可知,sin sin BD ABBAD ADB =∠∠又由2cos 3BAD ∠=可知1sin ,3BAD ∠= 所以sin 6sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为π,2ADB DAC C C ∠=∠+=+所以6cos 3C =.强化训练：1．在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA ．31010 B ．1010C ．1010D ．31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD+-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 2．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知ABC △的面积为315,4a =2,b =3,则sin aA =A ．463B ．161515C ．4153D ．463或161515【答案】D3．已知()cos17,cos73AB =︒︒，()2cos77,2cos13BC =︒︒,则ABC △的面积为__________.【答案】3【解析】由题意得1c AB ==,2a CB ==,·BC BA =2cos77cos172cos13cos73-︒︒-︒︒=()2cos77cos17sin77sin17-︒︒+︒︒=()2cos 7717-︒-︒=1-;而·cos BC BA AB CB B ==2cos B =1-,解得1cos 2B =-,所以3sin B =.所以ABC △的面积13sin 2S ac B ==.4．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC =__________． 【答案】325．如图，为了测量河对岸A B 、两点之间的距离,观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A B 、;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A C 、;找到一个点E ，从点E 可以观察到点B C 、.并测量得到一些据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,60E ∠=︒,则A B 、两点之间的距离为__________．(其中cos48.19︒取近似值23)10【解析】由题意知,在ACD △中,30A =︒.由正弦定理得sin4522sin 30CD AC ︒==︒在BCE △中,45CBE ∠=︒,由正弦定理得sin603 2.sin 45CE BC ︒==︒在ABC △中,由余弦定理得2222cos 10AB AC BC AC BC ACB =+⋅∠=﹣，∴10.AB = 6．在ABC △中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且()3cos ,sin cos cos sin 05B A B c A B =--⋅=.(1)求边b 的值;(2)求ABC △的周长的最大值. 【答案】(1) 1b =；(2) 51+.7．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若ABC △的面积为32S c=,求ab 的最小值.【答案】(1)2π3；(2) 12.8．在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量()2sin ,cos ,2A A =-+=n m n . (1)求角A 的大小; (2)若42b =,且2c a =,求ABC △的面积.【答案】(1) π4；(2)16. 【解析】(1)2+m n =()()22cos 2sin sin cos A A A A +-++=()422cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即()()222π4222422cos 4a a a =+-⨯⨯, 解得42a =,∴8c =, ∴124281622ABC S =⨯⨯⨯=△.9．ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B +=sin 2sin .c C a B +(1)求角C ;(2)求π3sin cos 4A B ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值. 【答案】(1)π4；(2) 2.10．设()f x =π13sin cos sin .22222x x x ⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎭⎝⎭(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知π1,332f A a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，求ABC △面积的最大值.【答案】(1) 2ππ2π,2π,33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2) 34.11． ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin B C∠∠； (Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．12．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A .（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A=. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A=. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =. 由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.13．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B A C +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2.。