清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
如果f在点p处满足(1) f在p处连续可微(2)?f在p处不为0则称p是曲面上的正则点如果曲面在正则点p0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，a=(x-x0,y-y0,z-z0)，则s在p点的切平面方程为n.a=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0) 过p0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(x-x0).n1=(x-x0).n2=0，具体地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0i. 曲面的显式表示法z=f(x,y)是曲面s的显式表示正则点p0(x0,y0,z0)处，s的法向量n=(?f/?x, ?f/?y,-1)ii. 曲面的隐式表示法f(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法【篇二：一元微积分习题清华大学】ass=txt>一．函数极限（定义）1.用定义证明：arctan（1）?0；（2）lim?x??x?11??. 1?x22. 设函数f(x)?0,limf(x)?a，证明：limx?x0x?x0f(x)?a二．函数的极限3．讨论极限limx?111?211?x是否存在；1???2?exsinx?4. 求极限lim??? 4x?0|x|??1?ex??f(x)?limf(x)?f(1)，求证：5.设函数f(x)在?0,???上满足f(x2)?f(x)，且lim?x?0x???f(x)?f(1),x?(0,??)。
6．设f(x)在?0,???单调递增，且limx???f(2x)f(ax)?1，求证：?a?0，lim?1。
x???f(x)f(x)x?m,m,n互质nx??\?，证明：riemannx?0?1?n?7.（书上p.66,23）riemann函数的定义为r(x)??0?1??函数在任意点的极限均为0.1?x?n,?1,x,1?x?2,???xn,n?x?n?1,?f(x)?8．设f1(x)??1 ?n,x?2,1?,?x?n?1,?x?x?（1）对任意固定的n，求limfn(x)；x???（2）求f(x)?limf1(x)f2(x)?fn(x)在[1,??)上的表达式；n??（3）求limf(x)。
x???1三．连续函数概念9.讨论函数f(x)的连续性，若有可去间断点，将函数修正为连续函数。
?ln?1?sin2?x?2x2x?0f(x)????1x?0??1?cosx??x2x?010.考察函数y?e1?cos1x的连续性。
11.对下列题目，选择出正确答案（1）设f(x)与?(x)在(??,??)有定义，?(x)在(??,??)有间断点，f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?0，则（a）f??(x)?在(??,??)上必有间断点;（b）??f(x)?在(??,??)上必有间断点;（c）?2(x)在(??,??)上必有间断点;（d）?(x)f(x)在(??,??)上必有间断点.1（2）.设f(x)?1?ex2，则x?0是f(x)的（）。
2?3ex(a)可去间断点。
(b)跳跃间断点。
(c) 无穷间断点。
(d) 震荡间断点。
（3）.设函数f(x)?1x，则（）ex?1?1（a）x?0，x?1都是f(x)的第一类间断点。
（b）x?0，x?1都是f(x)的第二类间断点。
（c）x?0是f(x)的第一类间断点，x?1是f(x)的第二类间断点。
（d）x?0是f(x)的第二类间断点，x?1是f(x)的第一类间断点。
12.设f(x)?x2n?1?ax2?bxnlim???x2n?1?c(??,??)，求a,b。
213．设f(x),g(x)?c[a,b].证明：（1）|f(x)|,max{f(x),g(x)},min{f(x),g(x)}?c[a,b].（2）m(x)?minf(?),m(x)?maxf(?)?c[a,b] a???xa???x14.设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且f??x?y?f(x)?f(y)?2???2,3【篇三：清华大学微积分讲座__刘坤林视频讲义】lass=txt>1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
2. ys2002090702.htm1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。
1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。
3. ys2002090703.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（a）在上必有间断点;（b）在上必有间断点;（c）在上必有间断点;（d）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。
例17.设，，，证明（1）存在；（2）收敛。
例18.若，则（a）且；（b）且；（c）且；（d）且；例19.若存在, 则b (a) 。
(b) 之去心邻域, 使当时, 。
(c) 之邻域, 使当时, 。
(d) 。
例20.设定义在, 且都在处连续,若, 则d (a) 且,(b) 且(c) 且,(d) 且例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 a (a) , (b) (c) , (d)4. ys2002090704.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（a）在上必有间断点;（b）在上必有间断点;（c）在上必有间断点;（d）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。