一元微积分期中考试答案 一．
填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。

21 3. 31 4。

3
4 5. 1 6．第一类间断点 7。

()dx x x x ln 1+ 8。

22sin(1)2cos(1)x x x e
++ 9。

0 10。

11−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。

13 13。

0 14。

)1(223
+−
=x y 15． 13y x =+
二． 计算题
1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。

…………………3分
a x
f x f f x =−=′−
→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+x
f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。

…………………1分
2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = x
x x x /1arctan )
1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x
x x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分
所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分
3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)
('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 3
2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=
…………………………………………6分
4.解：
⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x x
x x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2
+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g
1,3
1,0143)(432===+−=′x x x x x g 3
2,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞
⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠
⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为3
1=x ，极小值点为1,0=x 。

…………………2分 草图 …………………4分
证明题
1． 证明：记1
1ln )(+−−=x x x x ϕ， ………………………………..1分 )0(,0)1(1)(2
2>>++=′x x x x x ϕ， ………………………………..2分 因为0)1(=ϕ，当10<<x 时，0)(<x ϕ； ………………………………..2分
当1>x 时，0)(>x ϕ。

………………………………..2分
故当0>x 时，22)1(ln )1(−≥−x x x 。

………………………………..1分
2． （1）当0x x >时，存在)(0x x ∈ξ使得)()()(0
0ξf x x x f x f ′=−−。

又因为设),()()1(+∞−∞∈C x f 为下凸函数，)(x f ′为单调增函数，
)()()()(000x f f x x x f x f ′≥′=−−ξ，即)(),)(()()(0000x x x x x f x f x f >−′+≥。

同理可证，当0x x <时，))(()()(000x x x f x f x f −′+≥。

…………………………4分
（2）反证，如果)(x f 不是常数函数，必存在)(),,(,2121x x x x <+∞−∞∈，使得)()(21x f x f ≠，不妨假设)()(21x f x f <，则0)()(1
212>−−=x x x f x f k 。

由中值定理，),(21x x ∈∃ξ使得k f =′)(ξ。

因为)(x f 是下凸的，),()()1(+∞−∞∈C x f ，)(x f ′单调增，当ξ>x 时，k x f >′)(。

)()()(ξξ−+>x k f x f 当ξ>x 时
故+∞→x 时+∞→)(x f ，与),()()1(+∞−∞∈C x f ，且有界矛盾。

即)(x f 为常数函数。

…………………………3分。