习题三1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2(4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？解 由题意知2~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为{}00K x c μ=->，临界值1/21.960.108/0.0947c u α-==⋅=，由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性变化.设立统计原假设 22220010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时22220.0250.97511()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 2210.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {}222200201//K s c s c σσ=><%%或由于220/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化.2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<==拒绝域为 {}00K x c μ=->临界值为0.050.0532.9c u u =⋅=⋅=-由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52（0.05α=）？解 （1）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2(,)X N μσ:,μ已知设立统计原假设0010:500,:H H μμμμ==≠,拒绝域{}00K x c μ=->当0.05α=时，2500.89,34.5, 5.8737x s s === 临界值12(1) 4.5149c t n α-=-⋅=，由于00.8889x c μ-=<，所以接受0H ，机器工作正常.（2）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知2(,)X N μσ:，σ已知设立统计原假设 222220010: 5.5,:H H σσσσ==≠拒绝域为 {}{}222200102K s c s c σσ=<>%%U 当α=0.05时，可得2220.0250.97512500.89,34.5,(5) 2.7,(5)19.02,0.3, 2.11x s c c χχ======%由于22001.0138sK =∈%,所以接受0H ，可以认为方差为25.5. 4 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为 3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直稳定在3.25（元/500克）左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（0.05α=）解 设X 表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知2(,)XN μσ:设立统计原假设 0010: 3.25,:H H μμμμ==>, 拒绝域为{}00K x c μ=->当α=0.05时，13.399,0.269,20,0.0992x n c ασμ-====⋅=临界值由于0 3.399 3.250.149.x c μ-=-=>所以拒绝0H ，当前的鸡蛋售价明显高于往年.5 已知某厂生产的维尼纶纤度2(,0.048)XN μ:，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了（0.05α=）？解 由题意知 2(,0.048)X N μ:，0.05α=设立统计原假设 2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>= 拒绝域为{}2200K s c σ=>， 当0.05α=时，2220.950.951.4213,0.0055,(7)14.07,(7) 2.0096x s c χχ=====由于220 2.3988s c σ=>，所以拒绝0H ，认为强度的方差明显变大.6 某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值1950h ,标准差148h s =.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 α=0.05下, 确定这批元件是否合格. 解 设X 表示电子元件的平均寿命（单位：h ），由题意知2(,)XN μσ:设立统计原假设 0010:=2000H <H μμμμ≥，： 拒绝域为 {}00K x c μ=-<当0.05α=时，1950,148,(1)50.64x s c t n α===-=-临界值 由于 050x c μ-=->，所以接受0H ，即这批电子元件的寿命是合格的.7 设nX XX ,...,,21为来自总体(,4)X N μ:的样本，已知对统计假01:1;: 2.5HH μμ== 的拒绝域为0K{}2>=X .1）当9=n 时，求犯两类错的概率α与β；2）证明：当n →∞时，α→0，β→0.解（1）由题意知{}010~(,4),:1;: 2.5,2,9.X N H H K X n μμμ===>=犯第一类错误的概率为()21 1.51(1.5)0.0668.X P X P αμ⎫=>==>==-Φ=⎪⎭犯第二类错误的概率为()2 2.50.75(0.75)1(0.75)0.2266.X P X P βμ⎫=≤==≤=-⎪⎭=Φ-=-Φ=（2）若0:1H μ=成立，则(1,4)XN :}{}{00000()=11)n P H H P X c P X c nc αμμσ=≥+=-<+=-Φ否定成立 当n →∞时，0)1nc σΦ→，所以0()n n α→→∞同理 }{0010=<+=+c )/)()=0()n P X c n βμμμσΦ-→Φ-∞→∞8 设需要对某一正态总体,4()N μ的均值进行假设检验H 0：μ= 15，H 1：μ< 15取检验水平α=0.05，试写出检验H 0的统计量和拒绝域.若要求当H 1中的μ=13时犯第二类错误的概率不超过β=0.05，估计所需的样本容量n .解 由题意知 (,4)X N μ:,σ已知, 设立统计原假设01:15,:15H H μμ=<则拒绝域为}{015K X c =-<，其中临界值0.05c μ=⋅=-犯第二类错误的概率1513130.05P X P Xβ⎛⎫⎛⎫=->==->≤ ⎪ ⎭⎝⎝即1.65)0.95Φ≥, 化简得 23.311n ≥≈.9 设nX X X ,...,,21为来自总体X ～2(,)N μσ的样本，20σ为已知, 对假设：0011:;:H H μμμμ==其中01μμ≠，试证明：2211212()()n αβσμμμμ--=+⋅- 解 （1）10>μμ当时,由题意知 00110:;:;H H μμμμμ==> 犯第一，二类错误分别为,αβ，则有001(|)P X c c u ααμμμ-=>+=⇒=01110(|))X P X c P u αβμμμμμ-=≤+==≤=⇒()()22011111120010u u u u n u u ββααβαβσμμμ------=-=⇒+==+- （2）10μμ≤当时由题意知 00110:,:H H μμμμμ==≤，犯第一，二类错误分别为,αβ，则有00(|)P X c c u ααμμμ=<+=⇒=()()0110221111120010(|))X P X c P u u u u u n u u αβααβαββμμμμμσμμ-----=≥+==≥+=⇒=++=⇒=+-10 设171,...,X X 为总体2(0,)X N σ:样本，对假设：2201:9,: 2.905H H σσ==的拒绝域为 }{20 4.93K s =<. 求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ类错的概率β.解 由题意知 2(0,)X N σ:,222~().nsn χσ%统计假设为2201:9,: 2.905H H σσ==. 拒绝域为}{20 4.93K s =<%则犯第一，二类错误的概率,αβ分别是()()22222221717417174497.3040.0259999171744 3.319120.48810.750.253.319 3.319s s P s P P s P s P ασβσ⎛⎫⎛⎫⨯⨯=<==<=<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯=<==-<==-= ⎪⎝⎭%%%%% 11 设总体是密度函数是1,01(;)0,x x f x θθθ-<<=⎧⎨⎩其他统计假设 01:1,:2H H θθ==.现从总体中抽取样本21,X X ,拒绝域2134ΚX X =≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求：两类错误的概率,αβ解 由题意知010213:1;:2,, 2.4H H K X n X θθ⎧⎫===≤=⎨⎬⎩⎭当12121,0,11(;1) 1.~(0,1),(,)0,x x f x X U f x x θ<<⎧===⎨⎩时，其他此时212121231431(,)0.250.75ln 0.75.4x x P X f x x dx dx X αθ≤⎛⎫=≤===+⎪⎝⎭⎰⎰当1212122,014,0,12(;2).(,)0,0,x x x x x x f x f x x θ<<<<⎧⎧===⎨⎨⎩⎩时，其他其他 此时 21212123143992(,)ln 0.75.4168x x P X f x x dx dx X βθ>⎛⎫=>===+⎪⎝⎭⎰⎰12 设总体2(,)XN μσ:，根据假设检验的基本原理，对统计假设：00110:,:()()H H μμμμμσ==>已知；0010:,:H H μμμμσ≥<（未知），试分析其拒绝域.解 由题意知 2(,)XN μσ:,当00110:,:()H H μμμμμ==>成立时()01X P X c P αμμμ=->==>=-Φ{}1100,u c u K X c ααμ--===-> 所以拒绝域为 }{00K X c μ=-> 当0010:,:H H μμμμ≥<成立时00()()X P X c P X c P αμμμμ⎛⎛⎫⎫=-<≥≥-<=<=Φ}{00,c K X cααμμμ===-<所以拒绝域为}{00K X cμ=-<13 设总体2(,)X Nμσ:根据假设检验的基本原理，对统计假设：（1）22220010:,:()H Hσσσσμ=>已知；（2）22220010:,:()H Hσσσσμ≤>未知试分析其拒绝域.解由题意知2~(,)X Nμσ（1）假设统计假设为22220010:=,:>H Hσσσσ其中μ已知当H成立时，拒绝域形式为202=>sK cσ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩由22222=(n)ns nsχσσ:，可得22=>nsP ncασ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩所以21-=()nc nαχ，由此可得拒绝域形式为2201-21=>()sK nnαχσ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩（2）假设统计假设为22220010:<,:>H Hσσσσ其中μ未知当H成立时，选择拒绝域为202=>sK cσ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩，由222(-1)(1)n snχσ-:得 ()()()()222201111n s n s P n c P n c ασσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪=>-≤>-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭所以21(1)(1)n c n αχ--=-，由此可得拒绝域形式为2201-201=>(1)1s K n n αχσ⎧⎫⎪-⎨⎬-⎪⎭⎩14 从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含灰率（%）为,甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且2212=σσ，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异（=0.05α）？ 解 由题意知 2212(,),Y (,)XN N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠ 其中12=5,=4n n 当=0.05α时1/2122.3238,(2) 2.3646w s t n n α-==+-=临界值1-212=(+2) 3.6861w c t n n s α-⋅= 拒绝域为}{0 3.6861K x yc =->=而 03.5,,.x y c H -=<接受认为没有差别15 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低.经过试验获得它们的抗拉强度分别为（单位：2）：甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且21σ =22σ.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高（=0.05α）？ 解 由题意知 2212(,),Y (,)XN N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12=5,=5n n 当=0.05α时122.2136,(2) 1.86,w s t n n α==+-=-临界值1-12=(+2) 2.2136w c t n n s α-⋅= 拒绝域为}{0 2.2136K x yc =->=而 1.6x y c -=<，所以接受0H ，认为甲的抗拉强度比乙的要高.16 甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径（单位：）为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高（=0.05α）？解 由题意知 2212(,),Y (,)XN N μσμσ::设统计假设为 2222012112:;:H H σσσσ≥<，其中12=8,=9n n当=0.05α时 220.0955,0.0261x y s s ==，临界值12(1,1)0.2684c F n n α=--=拒绝域为202x ys K c s ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎭⎩，而22 3.6588x y s F c s ==>，接受0H ，认为乙的精度高.17 要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：）数据列表如下：试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？(=0.05α). 假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足2212(,),Y (,)X N N μσμσ::且两个样本相互独立. 解 由题意知 2212(,),Y (,)XN N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12===8n n n当=0.05α时，令()221/211,320,102200,319.69,(1) 2.36461n ZZ i Z X Y z s z z s t n n α-==-==-==-=-∑ 拒绝域为}{0K zc =>，临界值1-2=(1)2138Z c t n s α-⋅=而320z c =<，所以接受0H ，认为两种轮胎耐磨性无显著差异.18 设总体2212(,),Y (,)XN N μσμσ::, 由两总体分别抽取样本X ：4.4，4.0，2.0，4.8 Y ：6.0，1.0，3.2，0.4 1）能否认为12μμ= (=0.05α)? 2）能否认为2212σσ= (=0.05α)？解 (1) 由题意知 2212(,),Y (,)XN N μσμσ::设统计假设为 012112:=;:H H μμμμ≠，其中12==4=n n n令Z X Y =-，则有22111.15,()9.02331nzi z s z z n ===-=-∑， 当=0.05α时，1-=(1) 3.1824c t n α-=，1-2=(1) 4.78Z c t n s α-⋅= 拒绝域为}{0K z c =>，而 1.15z c =<，所以012,.H μμ=接受认为(2) 由题意知 2212(,),Y (,)XN N μσμσ::设统计假设为 2222220111:=;:H H σσσσ≠，其中12==4=n n n其中221.5467, 6.4367x y s s ==，拒绝域为2201222>x x yy s s K c c s s ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎭⎩或临界值1/21221212(1,1)0.0648,(1,1)15.4392c F n n c F n n αα-=--==--=而22201220.2403,,.XYs F H s σσ===接受认为19 从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证 实他的看法，他用他的方法治疗200个癌症病人，其中有6个治好了.这个医生断 言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.（1）试用假设检验方法检验这个医生的看法；（2）如果该医生实际得到了 4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？解 (1) 记每个病人的治愈情况为X ，则有(1,) X B p :设统计假设为0010:=0.02;:0.02H p p H p p >≤=，其中200,0.05n α==拒绝域为}{00K x p c =-<，临界值10.0163c αμ-== 而 000.01,,0.02.x p c H p -=<>拒绝不能认为 (2)不犯第二类错误的概率101 4.5%P X u p p αβ-⎧⎫⎪⎪-=>=⎨⎬⎪⎪⎭⎩由(1,) X B p :，可得 (1),p p EX p DX n-==由中心极限定理得1 4.5%10.72X P p β⎧⎫⎪-=>=⎬⎪⎭=-Φ=20 在某公路上，50之间，观察每15s 内通过的汽车数，得下表通过的汽车数量0 1 2 3 4 ≥5次数f92 68 28 11 1 0问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布（=0.10α）？解设统计假设为0010:()(),()(),200.0.10H F x F x H F x F x n α====4001ˆ,0.805.j j H X j n λν====∑若成立 记ˆ1,2,3,4ˆ(),!j j j p P x j e j λλ-==-=则有ˆ0.8050102143243500.8050.4471,0.805*0.3599,*0.144920.8050.805*0.0389,*0.0078,10.0014,34j j p e e p p p p p p p p p p λ--=============-=∑检验统计量的值为()2522210.9500 2.1596(1)(4)9.848,~(),0.805.j j n j jnp m r np H X P ανχχχλλ-=-==<--===∑不拒绝认为且21 对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：组限 10.93～10.95 10.95～10.97 10.97～10.99 10.99～11.01 频数5 8 20 34 组限 11.01～11.03 11.03～11.05 11.05～11.07 11.07～11.09 频数17664试对螺栓的口径X 的分布做假设检验（=0.05α）. 解 设X 表示螺栓的口径，2(,)XN μσ:，分布函数为()F x ，统计假设为0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠，其中100,0.05,2n r α===在0H 成立的情况下，计算得88221111ˆˆ11.0024,()0.00101888j j j j i i X x v x v μσμ====⋅==-⋅=∑∑ 由ˆ11.0024(0,1)ˆ0.00319X X N μσ--=:得0810.9311.002411.0911.00242.2689,, 2.74520.003190.00319x x --==-==L所以110887()()0.0386,,()()0.0140p x x p x x =Φ-Φ==Φ-Φ=L检验统计量的值为2822210.951()13.825(1)(5)11.07j j nj jv np m r np αχχχ-=-==>--==∑由此应该20,~(,).H XN μσ拒绝不能认为22 检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100次，得下表：次品数0 1 2 3 4 5 6 7 89 10频数 35 40 18 5 1 1 0 0 00 0问次品数是否服从二项分布（=0.05α）？ 解 设X 表示抽取的次品数，2(,)XN μσ:，分布函数为()F x ，统计假设为0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠，其中10,0.05n α==在0H 成立的情况下，01ˆNjj X pjv N N===∑计算得001011922801011021033710100103101010(1),0,1,,10;ˆˆˆ(1)0.3487,(1)0.3874,(1)0.1937ˆˆ(1)0.0574,(1)10,jj N j j N p C p p j p C p p p C p p p C p p p C p p p C p p--=-==-==-==-==-==-=L L 检验统计量的值为0020()21022210.950 5.1295(1)(9)16.92j j n j jnp m r np ανχχχ-=-==<--==∑因此0,~(10,0.1).H XB 不拒绝认为23 请71人比较A 、B 两种型号电视机的画面好坏，认为A 好的有23人，认为B 好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为B 的画面比A 的好（=0.10α）？解 设X 表示A 种型号电视机的画面要好些，Y 表示B 中型号电视机画面要好些分布函数分别为()X F x ，()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),10,100.0.05X Y X Y H F x F x H F x F x N n α=≠===由题意知++=23=45,=+n n n n n --， 检验统计量 ,min()s n n +-=而23(68)25s s α=<=，所以0,.H B 拒绝认为的画面好 24 为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进行测量，得下表 甲 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 乙 1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同（=0.05α）？解 设,X Y 分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分布，分布函数分别()X F x ()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),.0.05,12,X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠===检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为112T =且(150,300)T N :拒绝域为012K u u α-⎧⎫⎪=>⎨⎬⎪⎭⎩而0.9752.194 1.96u u =>=，所以0,.H 拒绝认为指标分布不相同 25 观察两班组的劳动生产率(件)，得下表：α解 设,X Y 分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为(),X F x ()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),.0.05,9,9X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠===检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为73T = 拒绝域形式为}{01212,<K T t T t t t =<>U 其中而12(9,9)=66,(9,9)105t t =，因此T K ∈, 所以0,.H 接受认为劳动生产率相同26 观观察得两样本值如下：Ⅰ 2.36 3.14 7.52 3.48 2.765.436.547.41Ⅱ 4.38 4.25 6.54 3.28 7.216.54问这两样本是否来自同一总体（α=0.05）？解 设,X Y 分别表示Ⅰ，Ⅱ两个样本，分布函数分别是(),X F x ()Y F x ，统计假设为01:()(),:()(),.0.05,6,8,X Y X Y H F x F x H F x F x n m α=≠===检验统计量为秩和T ，易知T 的样本值为49T = 拒绝域形式为}{01212,<K T t T t t t =<>U 其中而12(6,8)=32,(6,8)58t t =，因此T K ∈, 所以0,.H 接受认为来自同一总体27 某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46,按照某种遗传模型其比率之比应为：22)1(:)1(2:p p p p --，问数据与模型是否相符（05.0=α）？解 设体格的属性为样本X ，由题意知(2,1)X B p -:其密度函数为()f x ，其中22(,)(1)0,1,2x x x f x p C p p x -=-=统计假设为0010:()(),:()()H F x F x H F x F x =≠似然函数为222211(1)(1)i iii nnx x x x n nxnxi i L C pp pp C --===-=-∏∏解得最大似然统计量为 ˆ12x p=- 则220ˆˆ 1.330.1121pp ===1ˆˆˆ2(1)0.4454pp p =-=22ˆˆ(1)0.4424pp =-= 拒绝域为}{2201(1)K m r αχχ-=>--而 ()21022210.950ˆ0.9134(1)(9) 3.8414ˆj j n j j npm r npανχχχ-=-==<--==∑所以0,.H 不拒绝认为与模型相符28 在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑人.16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设（05.0=α）.解 设X 表示男人中聋哑人的个数，Y 表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为()X F x ，()Y F x . 统计假设为01:(,)()(),:(,)()()X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x =≠拒绝域为}{2201(1)K m r αχχ-=>--而21022210.950ˆ()62.64(1)(1) 3.84ˆjj n j jv np m r np αχχχ-=-==>--==∑ 所以0,.H 拒绝认为聋哑与性别相关 29 下表为某药治疗感冒效果的联列表：试问该药疗效是否与年龄有关（α=0.05）？解 设X 表示该药的疗效与年龄有关，Y 表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为(),X F x ()Y F x . 统计假设为01:(,)()(),:(,)()(),3,3,0.05,X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x r s α=≠===拒绝域为}{2201(1)K m r αχχ-=>--而 ()21022210.950ˆ13.59(1)(4)9.488ˆj j n j j npm r npανχχχ-=-==>--==∑所以0,.H 拒绝认为疗效与年龄相关30 某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过3%时以高于95%的概率接受，当不合格率超过12%时，将以低于10%的概率接受.试为验收者制订验收抽样方案.解 由题意知，010.03,0.12,0.05,0.1p p αβ====代入式子 01()1()L p L p αβ=-⎧⎨=⎩()L p 选用式子()(L P X d P U φ=≤=≤≈计算求得 66,4n d ==，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品4X ≤，则接受这批产品，否则拒绝这批产品.31 假设一批产品的质量指标2(,)X N μσ:（2σ已知），要求质量指标值越小越好.试给出检验抽样方案（,n c ）的计算公式.若2σ未知，又如何确定检验抽样方案（,n c ）？若质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案（,n c ）?解 (1) 解方程组01()1()L L μαμβ=-⎧⎨=⎩ 得 ()201u u n αβσμμ⎛⎫+⎪= ⎪-⎝⎭10u u c u u αβαβμμ+=+(2) 若2σ未知，用*2M 估计2σ，从而得出公式()2*201u u M n αβμμ⎛⎫+⎪= ⎪-⎝⎭10u u c u u αβαβμμ+=+习题四1 下表数据是退火温度x (C 0)对黄铜延性η效应的试验结果，η是以延伸率计算的，且设为正态变量，求η对x 的样本线性回归方程.x C 0700 800y (%)40 50 55 60 67 70解 利用回归系数的最小二估计：101ˆˆˆxyxx l l y x βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩其中2211,n nxy i i xx i i i l x y nxy l x nx ===-=-∑∑ 代入样本数据得到：10ˆˆ0.0589,24.6286ββ== 样本线性回归方程为：ˆ24.62860.0589yx =+ 2 证明线性回归函数中 (1)回归系数1β的置信水平为α-1的置信区间为211ˆˆ(2)n αβ--；(2)回归系数β的置信水平为α-1的置信区间为2ˆ(2)n αβ-±-.证 (1) 由于211ˆ,xx N l σββ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()0,1N :222(2)ES n χσ-:又因为：，()222ˆ2(2)n n σχσ--:故所以()2t n -:易知{}11ˆ1p c ββα-<=-，1P α<=-⎪⎭⎩其中()122n α--所以1β的置信水平为α-1的置信区间为211ˆˆ(2)n αβ-±-(2) 由0ˆβ～2201(,())xxn x N l βσ+，得()0,1N :，()222ˆ2(2)n n σχσ--:，0ˆβ与2ˆσ相互独立，所以：()2T t n ==-:根据11221(2)(2)P T t n P t n ααα--⎫⎪⎛⎫⎪-=<-=<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎭()()0001122ˆˆ22P n n ααβββ--⎛⎫ ⎪ ⎪=--<<+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得到0β的置信度为1α-的置信区间()012ˆ2n αβ--.3 某河流溶解氧浓度（以百万分之一计）随着水向下游流动时间加长而下降.现测得8组数据如下表所示.求溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以α=0.05对回归显著性作检验.流动时间t （天） 0.5 1.0 1.6 1.8 2.6 3.2 3.8 4.7 溶解氧浓度（百万分之一） 0.28 0.29 0.29 0.18 0.17 0.18 0.10 0.12解 利用101ˆˆˆtytt l l y tβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩其中2211,n nty i i tt i i i l t y nty l t nt ===-=-∑∑代入样本数据得到： 10ˆˆ0.0472,0.3145ββ=-= 所以，样本线性回归方程为：ˆ0.31450.0472yt =- 拒绝域形式为：{}21ˆc β> ()20.95ˆ1,6,0.0058ttF c c l σ==>而21ˆ0.0022β=，所以回归模型不显著.4 假设X 是一可控制变量，Y 是一随机变量,服从正态分布.现在不同的X 值下分别对Y 进行观测，得如下数据ix 0.25 0.37 0.44 0.55 0.60 0.62 0.68 0.70 0.73 iy 2.572.31 2.12 1.92 1.75 1.71 1.60 1.51 1.50ix 0.75 0.82 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 1.00 i y 1.41.3 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 1.0 (1)假设X 与Y 有线性相关关系，求Y 对X 样本回归直线方程，并求2σ=DY 的无偏估计；(2)求回归系数21σββ、、的置信度为95%的置信区间；(3)检验Y 和X 之间的线性关系是否显著（=0.05α）； (4)求Y 置信度为95%的预测区间；(5)为了把Y 的观测值限制在)68.1,08.1(，需把x 的值限制在什么范围？（=0.05α）解 (1) 利用101ˆˆˆxyxx l l y xβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩其中2211,n nxy i i xx i i i l x y nxy l x nx ===-=-∑∑计算得10ˆˆ2.0698, 3.0332ββ=-= 所以，样本线性回归方程为：ˆ 3.0332 2.0698yx =-，22ˆ0.002015ES σ==(2) 根据第二题，1β的置信区间为()112ˆˆ2n αβ-±-，代入值计算得到：()1 2.1825, 1.9571β∈--，0β的置信区间为()02ˆ2n αβ-±-，代入数值计算得到：()0 2.95069,3.1160β∈.(3) 根据F 检验法，其拒绝域形式为 }{201ˆK c β=> 而 12ˆ(2),xxc tn l ασ-=- 显然10K β∈，所以Y 和X 之间具有显著的线性关系. (4)()221(0,(1))xxx x y N l nσ-++:,()2ˆ1()1(0,1)xxx x s x N l n -=++:令222ˆ(2)((2)n n t n σχσ---:: 则有1122ˆˆ((2),(2))y yt n y t n αα--∈-+- (5)根据(4)的结论，令22ˆˆ1.68 1.08yyαα--+=-=，解得 (0.7802,0.8172)x ∈5 证明对一元线性回归系数0ˆβ,1ˆβ相互独立的充分必要条件是0=x .证 ""⇒()()()()()010011111ˆˆˆˆˆˆcov ,E y x ββββββββββ=--=---2110111101ˆˆˆˆ()E y x y x βββββββββ=---++2211011101ˆy xE y x ββββββββ=---++ ()2211ˆx E ββ=--222221111ˆˆˆ()xxE D E l σββββ=+=+ 若要()01ˆˆcov ,0ββ=，那么0x =. 反之显然也成立，命题的证.6 设n 组观测值),...,2,1)(,(n i y x ii=之间有关系式：ii i i x x y εεββ，+-+=)(10～),...,2,1)(,0(2n i N =σ（其中∑==ni ix n x 11），且n εεε,...,,21相互独立.(1) 求系数1,ββ的最小二乘估计量10ˆ,ˆββ； (2) 证明∑∑∑===-+-=-ni i n i i i n i i y y y y y y 121212)ˆ()ˆ()(，其中∑==ni iy n y 11(3) 求1ˆ,ˆββ的分布. 解 (1) 最小化残差平方和：2201[()]E i i S y x x ββ=---∑01ββ求，的偏导数[][]220101012()02()()0E Ei i i i i S S y x x y x x x x ββββββ∂∂=----==-----=∂∂∑∑， 01ˆˆ,xyxxl y l ββ==得到： (2) 易知()()()22221111ˆˆˆˆˆˆ()()2()nnnniiiiiii i i i i i i i y y y yy y y y yy y y y y ====-=-+-=-+-+--∑∑∑∑其中01ˆˆˆ()()xy i ii xxl y x x y x x l ββ=+-=+-，将其代入上式可得1ˆˆ()()0niiii y yy y =--=∑ 所以, ∑∑∑===-+-=-ni i n i i i ni i y y yy y y 121212)ˆ()ˆ()((3) 20ˆ~(0,),i N y εσβ=Q ，200ˆ~(,)N nσββ∴同理，易得211ˆ~(,)xxN l σββ∴7 某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量Y与样本点对原点的距离X 有如下观测值ix 2 3 4 5 7 8 10 iy 106.42 108.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 ix 11 14 15 16 18 19 iy 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20分别按(1)xba y +=；(2)xb a y ln +=；(3)x ba y +=.建立Y 对X 的回归方程，并用相关系数221TES S R -=指出其中哪一种相关最大.解 (1)令v y a bv ==+，根据最小二乘法得到，正规方程：101ˆˆˆvy vv l l y vβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，最后得到10ˆˆ1.1947,106.3013ββ==所以：样本线性回归方程为：ˆ106.3013y=+，10.8861R =(2) 令ln ,v x y a bv ==+101ˆˆˆvyvv l l y vβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得到10ˆˆ1.714,106.3147ββ== 所以：样本线性回归方程为：ˆ106.3147 1.714ln yx =+，20.9367R =(3) 令1,v y a bv x==+101ˆˆˆvyvv l l y vβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得到10ˆˆ111.4875,9.833ββ==- 所以：样本线性回归方程为：ˆ111.48759.833yx =-，30.987R =综上，123R R R <<,所以第三种模型所表示的X Y 与的相关性最大.8 设线性模型⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=3213221211122εββεββεβy y y其中i ε～),0(2σN （1,2,3.i =）且相互独立，试求1β、2β的估计.解 令()()1231212310,,,21,(,),,,12T TT Y y y y X βββεεεε⎡⎤⎢⎥==-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则线性模型可转化为 Y X βε=+根据222T T T T E S Y X Y Y Y X X X ββββ=-=-+， 令20ES β∂=∂ 可得 ()1ˆT T X X X Y β-=即 112322311ˆˆ(23),(2)66Y Y Y Y Y ββ=++=--+ 9 养猪场为估算猪的毛重，随机抽测了14头猪的身长1x ()，肚围2x ()与体重y ()，得数据如下表所示，试求一个22110x b x b b y ++=型的经验公式.解由多元线性模型得：()2140,Y X I βεεσ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ ()()()0121212,,,,,,T T Tn n Y y y y ββββεεεε===L L()114149145581516215271159621627416971ˆ172741787918084190851929419891110395T T X X X X Y β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦代入数值得到：12ˆ15.93840.52230.4738yx x =-++ 同样得到：12ˆ15.93840.52230.4738yx x =-++ 10 某种商品的需求量y ，消费者的平均收入1x 和商品价格2x 的统计数据如下表所示.试求y 对1x 、2x 的线性回归方程.1i x 1000 6001200 500 300 400 1301100 1300 300 2i x 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9 i y100 75 80 70 50 65 90 100 110 60解 建立回归模型201122=+++(0,)Y x x N βββεεσ:其中根据2()=0E S ββ∂∂，可求得β的估计为 -1ˆ=(X X)T T X Y β代入x ，得0=111.6918,β 1=0.0143,β 2=7.1882,β-则回归方程为：12ˆ111.69180.01437.1882yx x =+- 11 设n 组观测值),...,2,1)(,(n i y x i i =之间有如下关系：ii i i i x x y εεβββ，+++=2210～),...,2,1)(,0(2n i N =σ，且n εεε,...,,21相互独立.(1)求系数210,,βββ的最小二乘估计量21ˆ,ˆ,ˆβββ； (2)设n i x x y i i i ,...,2,1,ˆˆˆˆ2210=++=βββ，∑==ni iy ny 11， 证明：∑∑∑===-+-=-ni i n i i i ni i y y yy y y 121212)ˆ()ˆ()( 解(1)()()()0121212,,,,,,TTTn n Y y y y ββββεεεε===L L1222211111Tn n X x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L()1ˆT T X X X Y β-= (2)()()()22221111ˆˆˆˆˆˆ()()2()nnnniiiiiii i i i i i i i y y y yy y y y yy y y y y ====-=-+-=-+-+--∑∑∑∑()()11ˆˆˆˆ()0nT T i i i i x x x x y y yy β-==--=∑其中:y=x ，将其代入，得到 ()22211ˆˆ()()nni i i i i i y y y yy y ==∴-=-+-∑∑(1)求形如2210x b x b by ++=的回归方程；(2)对上述回归方程的显著性作检验；(3)求当x =5.5时Y 的估计值.解 (1) 令212,x x x x ==，求得回归方程为：2ˆ 3.4167 2.72620.3905yx x =+- (2) 拒绝域形式为：{}21ˆc β> ()20.9521ˆ1,6ˆxxF c l σβ=>而，所以回归方程具有显著性 (3) 将 5.5x =代入回归方程，得到ˆ 6.5982y= 13 设y 和变量12,x x 有形为ε++=2211x b x b y ,2(0,)N εσ:的回归方程模型，试用最小二乘法求出12b b 和的估计.解 令 ()()()121212,,,,,T T Tn Y y y y βββεεε===L1112121222Tn n xx x X x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭L L残差平方和为 222T T T T E S Y X Y Y Y X X X ββββ=-=-+令 20E S β∂=∂，得到 112ˆ(,)()T T T X X X Y βββ-==.。