例1 把4x2-y2 因式分解.
分析 可以用平方差公式进行因式分解吗？
因为4x2可以写解 成(2x)2，所以 能用平方差公 式因式分解.
4x2-y2 = (2x)2-y2 = (2x+y)(2x-y).
例2
把 25x2 -
9 4
y2 因式分解．
解 25x2-9 4y2 = (5x)2-(32y)2 = (5x+3 2y)(5x-3 2y)
• 二、用简便方法计算： （1）399×401
（2） 592－18×59+92
（3）37×3.14+27×3.14+36×3.14 （4） 23×1012－992×23
• 三、在实数范围内分解因式。
• （1） x2-5
(2)x4-9
• (3) x4-10x2+25
(4) x4-4y4
因式分解综合运用
答案：(x2+4)(x+2)(x-2)
3. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm，内圆直径d=2.6cm， 在外圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图.试求涂 上材料的圆环的面积( π=3.14，结果保留两位有效 数字).怎样计算比较简便？
答：
π D - d
2
2
2 2
=
π
D
例5 把 x3y2 -x5 因式分解 .
分析 第一步做什么？
先提出公 因式x3.
解 x3y2-x5 = x3(y2-x2) = x3(y+x)(y-x).
探究
在系数为实数的多项式组成的集合中，x2-2 能表示成两个多项式的乘积的形式吗？
要是能把2表示成 某个数的平方，那就 可以用平方差公式进 行因式分解.
+
d
D
-
d
2 2 ）.
说一说
1. 完全平方公式是什么样子？
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
2. 如何把 x2+4x+4 因式分解？
由于x2+4x+4=x2+2 ·x ·2+22， 因此把完全平方公式从右到左 地使用，可得x2+4x+4=(x+2)2.
上学期学过，( 2)2 =2.
因此，x2-2能进行因式分解：
x2-2=x2- (2 ) 2 =(x+2 ) (x-2 )
注意
本书如果没有特别声明，都是在系数为有 理数的多项式组成的集合中进行因式分解 .
练习
1. 填空：
（1）9y2 = ( 3y )2；
（ 2） 36x2= ( 25
6 5
x
) 2.
2. 把下列多项式因式分解：
（1）9y2-4x2；
（2）1-25x2
答案：(3y+2x)(3y-2x) 答案：(1+5x)(1-5x)
（3）295x2-16y2.
（4）(x+y)2-(y-x)2
答 案 ： (5 3x-4y)(5 3x+ 4y) 答案：4xy
（5）a3-ab2
（6）x4-16
答案：a(a+b)(a-b)
例3 把 (x+y)2-(x-y+1)2 因式分解 .
解 (x+y)2-(x-y+1)2 = [(x+y)+(x-y+1)][(x+y)-(x-y+1)] = (2x+1)(x+y-x+y-1) = (2x+1)(2y-1)
例4 把x4-y4 因式分解.
分析 可以用平方差公式进行因式分解吗？
可以！因为 x4-y4
• 5、二次三项式mx2+32x-25(m≠0)有一个因式为2x+5，求另一 个因式及m的值。
• 6、已知a+b=1/2, ab=3/8 ，求a3b+2a2b2+ab3之值
• 7、已知a,b为实数，且a2-2a+b2=-1，求 ab3
的值。 • 8、已知a2+b2=25, a+b=7 ，且a﹥b，求a-b的值。 • 9、已知︱x+y-2︱+x2-2xy+y2=0，求x+2y的值。 • 10、已知x(x-1)-(x2-y)=-3, 求x2+y2-2xy的值
=(x2)2-(y2)2
解 x4-y4 = (x2)2-(y2)2 = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
注意
在例4中，第一次用平方差公式因式分解后，
得到的一个因式x2-y2还可以再用平方差公式因式
分解.
在因式分解中，必须进行到每一个因式都不
能再分解为止.
例4 把x4-y4因式分解. 解 x4-y4 = (x2)2-(y2)2 = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
3. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm,内圆直径d=2.6cm，在外 圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图，试求涂上材料的
圆环的面积（ π =3.14，结果保留两位有效数字）.怎样
计算比较简便？
解：s =
π
D2 2
-
d 2
2
=πD 2 +d2D 2 -d2
=π 1 .6+ 1 .3 1 .6-1 .3
因式分解综合运用
• 一、检测训练：分解因式
• （1）a-2a2+a3
(2) x2(a-1)+y2(1-a)
•
• (3) 4a(2x-y)2-36a
(4) (x2+y2)2-4x2y2
• (5) (x2-3)2+(3-x2)+1 • (6) m4-2(m2-1/2) • (7) -3a(1-x)-2b(x-1)+(1-x) • (8) 8x(2x+y)3-12x2(2x+y)2
• 11、已知a-3=b+c， • 求多项式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)的值。
• 12、给出三个多项式2a2+3ab+b2, 3a2+3ab, a2+ab， 任选两个进行加法（或减法），再将结果分解因式。
• 13 已知a2+b2-a+4b+17/4=0 ，求a,b之值
练习
• 1、已知a+b=5, ab=7 ，先化简再求a2b+ab2-a-b之值
• 2、已知a,b,c是三角形ABC三边，且4a2b-8a2c4abc+8a3=0，判断三角形形状。
• 3、试说明32012－4×32011+10×32010能被7整除。
• 4、设n为整数，试说明(2n+1)2-25能被4整除。
2.7
.
10
说一说
1. 平方差公式是什么样子？
(a+b)(a-b)=a2-b2
2. 如何把 x2-25 因式分解？
把平方差公式从右到左地使 用，就得出
x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5)
像上述例子那样，把乘法公式从右到左地 使用，可以把某些类型的多项式因式分解，这 种方法叫做公式法.