解： 2a(b c) 3(b c)
(b c)(2a 3)
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ； 2 (2)7ma+14ma ； 4 3 2 (3)－16x +32x －56x ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
例5 分解因式：
(1) 16x2+24x+9；
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2· 4x· 3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
a· b + b2 a2 + 2 · 解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+2· 4x· 3+32
1 2; b 25
(2) x2－y2; (4) －x2－y2.
(1)a2－
(2)9a2－4b2;
(4) －a4 +16.
(3) x2y－4y ;
思维延伸
1. 观察下列各式:
32－12=8=8×1;
52－32=16=8×2;
72－52=24=8×3;
……
把你发现的规律用含n的等式表示出来.
2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被24 整除吗? 为什么?
例4 分解因式:
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解. 解:(1) x4－y4 = (x2+y2)(x2－y2) = (x2+y2)(x+y)(x－y). (2) a3b－ab =ab(a2－ 1) =ab(a+1)(a－ 1).
练 习
1.下列多项式能否用平方差公式来分解 因式?为什么? (1) x2+y2 ; (3) －x2+y2; 2.分解因式:
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，假设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2. (1) 4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 (2) (x+p)2 – (x+q) 2
=(4x+3)2
例5 分解因式：
(2)
2 2 –x +4xy–4y .
解：(2) －x2+4xy－4y2 = － (x2－4xy+4y2) = － [x2－2· x· 2y+(2y)2]
= － (x－2y)2 .
例6 分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2－12(a+b)+36.
怎样分解因式: ma mb mc .
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式.
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c) 是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的 方法，叫做提公因式法.
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； m (2)4kx－ 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 (4)a2b－2ab2+ab . ab
15.4.1 提公因式法
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1) x x x( x 1)
2
(2) x 1 ( x 1)(x 1)
2
把一个多项式化成几个整式积的形 式，这种变形叫做把这个多项式因式 分解（或分解因式）.
找公因式方法： 一看系数：应取各项系数的最大公约数. 二看字母：取各项相同的字母.
三c分解因式
3 2 3
分析：应先找出 与 公因式，再提公因式进行分解.
的
例 2 分解因式 2a(b c) 3(b c)
分析：(b+c)是这两个式子的公因式, 可以直接提出.
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
=(2x+p+q)(p–q).
= (2x+3)(2x – 3).
分解因式 必须进行 4 4 3 (1)x —y ; (2) a b —ab. 到每一个 多项式都 分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式， 不能再分 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了 解为止. .
15.4.2
思考：
公式法(2)
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？ (a+b)2=a2+2ab+b2,
(a－b)2=a2－2ab+b2. a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方.
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值 4a ( x 7) 3( x 7)， 其中a 5, x 3.
2
15.4.2
公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－ 4n2分解因式吗?这两个多项式有什么共同 的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2 a2－b2 =(a+b)(a－b)
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
2 2 x －y
因式分解
整式乘法
(x+y)(x－y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因 式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解 整式乘法 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； 因式分解 整式乘法 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
将a+b看作一个 整体，设a+b=m, 则原式化为完全 平方式m2－ 12m+36.