7．设 ，则 的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据指数函数、对数函数的性质判断 与 的大小关系，再根据对数运算将 化简，最后根据换底公式、不等式性质等判断出 的大小关系.
【详解】
， ， ，所以 最小， ，因为 .选B.
【点睛】
本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查基本分析判断能力.属基本题.
3．已知 是等差数列，且 ，则 的前 项和等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据 也是等差数列，再利用等差数列了前 项和公式求解.
【详解】
.选C.
【点睛】
本题考查等差数列的判定、通项公式、前 项和公式，考查基本求解能力，属基本题.
4．已知向量 的夹角为 ，则 等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近 ，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.
【详解】
由散点图得负相关，所以 ，因为剔除点 后，剩下点数据更具有线性相关性， 更接近 ，所以 .选D.
【点睛】
本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.
【解析】先根据抛物线的标准方程和定义找到 与 的关系，再化简 的等价条件，最后根据两范围包含关系确定充要关系.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 真子集，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，选B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，考查基本判断分析能力，属基础题.
6．相关变量 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程 ，相关系数为 ；方案二：剔除点 ，根据剩下数据得到线性回归直线方程： ，相关系数为 .则（）
2．已知在复平面内，复数 对应的点分别是 ，则复数 对应的点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】先根据复数除法法则化简计算，再根据复数几何意义确定点坐标，最后作判断.
【详解】
，对应的点的坐标是 ，在第四象限.选D.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、复数运算，考查数学运算能力.属基础题.
【点睛】
本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.
12．已知函数 （ 为自然对数的底），若方程 有且仅有四个不同的解，则实数 的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先需要根据方程特点构造函数 ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数 在 上的零点个数，再转化成方程 解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点 的具体位置、 的长度，从而求出截面面积.
【详解】
设截面与 分别相交于点 则 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则 是底面 的中心.设 ，则 ，又因为 ， ，所以 ，所以 ，所以四边形 的面积 .选C.
2019届山东省高三第一次大联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 的元素个数是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】根据两个函数图像交点的个数确定 的元素个数.
【详解】
由幂函数 的图像可以知道，它们有三个交点 ，所以集合 有三个元素.选D.
【点睛】
本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题
8．执行如图所示程序框图，输出的结果是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前 项和公式求解.
【详解】
如图所示 时， 是等比数列 的前 项和，即 ，由 ，所以输出的是 .选B.
【点睛】
本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前 项和公式，考查基本分析判断与求解能力.属基本题.
【详解】
因为函数 是偶函数， ，所以零点成对出现，依题意，方程 有两个不同的正根，又当 时， ，所以方程可以化为： ，即 ，
记 ， ，设直线 与 图像相切时的切点为 ，则切线方程为 ，过点 ，所以 或 （舍弃），所以切线的斜率为 ，由图像可以得 .选D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.
【点睛】
本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.考查基本分析判断与求解能力.属基本题.
10．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即 ，其中 .我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是 ，这个公式中的 应该是（）
【解析】先根据向量夹角公式求 ，再根据二倍角公式得结果.
【详解】
因为 ，所以 .选.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.
5．已知 是抛物线 上的点，点 的坐标为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先根据三角形面积公式 ,确定 应该等于 ,再根据余弦定理得到答案.
【详解】
因为 ，所以 .选C.
【点睛】
本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题.
11．如图， 是棱长为 的正方体， 是棱长为 的正四面体，底面 , 在同一个平面内， ，则正方体中过 且与平面 平行的截面面积是（）
9．过两点 分别作斜率不为 且与圆 相切的直线 ，当 变化时，交点 的轨迹方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点 满足的几何条件，从而判断出动点 的轨迹，再根据双曲线的标准方程求出轨迹方程.
【详解】
圆方程为 与 轴相切于点 ，设 与圆的切点分别为 ，则 ，所以点 的轨迹是以 为焦点且实轴长为 的双曲线的右支， ，方程为 ，所以选A.