第五章静电场
习题5-9 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为
（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为
若棒为无限长（即L→），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。

证明：（1）
延长线上一点P的电场强度，故由几何关系可得
电场强度方向：沿x轴。

（2）
若点P在棒的垂直平分线上，如图所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此点P的电场强度E方向沿y轴，大小为利用几何关系，，则
当L→时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度
其结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。

习题5-10 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为
（圆环电场强度）
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系，，，统一积分变量，电场强度大小为
积分得
习题5-12 两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。

（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。

解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+E-分别表示正负电导线在P点的
电场强度，则有
（2）设F+，F-分别表示正负带电导线单位长度所受的电场力，则有
显然有，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。

习题5-15 边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点。

现将立方体置于电场强度E=
(E1+kx)i+E2j (k，E1，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。

解：如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即。

而
考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
同理
因此，整个立方体表面的电场强度通量
习题5-18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。

求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。

分析：本题的电场强度分布虽然不具备对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带圆盘的电场叠加，求出电场的分布，要回灵活应用。

若把小圆孔看做由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的小圆盘。

这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和。

解：（由5-4例4可知，）在无限大带点平面附近
为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场
它们的合电场强度为
习题5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。

球电场分
布。

电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析。

解：取半径为r的同心球面为高斯面，由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。

，该高斯面内无电荷，，故
，高斯面内电荷，故
，高斯面内电荷为Q，故
，高斯面内电荷为故
电场强度方向沿矢径方向，各区域的电场强度分布曲线如图（b）所示。

在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴的带点球面两侧，电场强度的跃变量
习题5-21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R2>R1），单位长度上的电荷为。

求离轴线为r处的电场强度：（1）r<R1（2）R1<r<R2，（3）r>R2
解：做同轴圆柱面为高斯面，高斯面上下底面电场强度通量为零，只有侧面有电场强度通量，根据高斯定理
习题5-22 如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，且Q1=Q3=Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所做的功。

解：
方法1：
由题意Q1所受合力为零
解得
由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处（与沿任意路径做功相同），外力所做的功为
方法2：
与方法1相同，任一点电荷所受合力均为零时，并由电势的叠加得、在点O的电势
将Q2从点O移到无穷远处（与沿任意路径做功相同），外力所做的功为
习题5-23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为，为电荷线密度。

（1）求在r=r1和r=r2两点间的电势差；（2）在点电荷的电场中，我们曾取r→处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明。

解（1）由于电场力做功与路径无关，若沿径向积分，则有
（2）不能。

电场强度只适用于无限长的均匀带电直线，此时电荷分布在无限空间，处的电势应与直线上的电势相等。

习题5-26 电荷面密度分别为+和-的两块“无限大”均匀带电平行平板，如图放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x变化的关系曲线。

由“无限大”均匀带电平板的电场强度，叠加求得电场强度的分布
电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功
习题5-29 一圆盘半径R=3.00×10-2m. 圆盘均匀带电，电荷面密度=2.00×10-5Cm-2.（1）求轴线上的电势分布；（2）根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；（3）计算离盘心30.0 cm处的电势和电场强度。

解：（1）带电圆环激发的电势
由于电势叠加，轴线上任一点P的电势为
(1)（2）轴线上任一点电场强度为
(2)电场强度方向沿x轴方向。

（3）将场点至盘心的距离x=30.0cm分别代入式(1)和式(2)，得
V
E=5607 V/m。