张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。

这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。

矢量和标量本身也是张量。

张量可以用多维数值阵列来表示。

张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。

例如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。

矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。

标量是单一数值，它是0阶张量。

张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。

例如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。

因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。

取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。

张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。

这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。

张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。

张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。

张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。

历史现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。

“tensor ”这个单词在1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。

[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。

“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。

随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。

在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。

广义相对论完全由张量语言表述。

爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。

[7]1915年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。

“我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。

”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。

柯西应力张量是一个二阶张量。

该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩阵：312()()()111213212223313233T T T =e e e σσσσσσσσσσ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该矩阵的各列表示作用在e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。

在其他领域中，张量同样被认为是一种很实用的数学方法，如连续介质力学。

在微分几何中有一些著名的例子是用二次型表示的，如度量张量和黎曼曲率张量。

十九世纪中叶赫尔曼·格拉斯曼的外代数本身就是一个张量理论，具有很强的几何特性，但此前很长一段时间，人们很自然地认为微分形式包含张量理论。

卡尔丹·埃利的工作指出微分形式只是张量在数学运算中的一种基本形式。

大约从20世纪20年代起，人们认识到，张量发挥（在Künneth 定理为例）在代数拓扑中的基础性作用。

[需要的引证]相应地有型张量的工作在抽象代数的许多分支，特别是在同调代数和表示论。

多线性代数可以开发更大的通用性比标量从外地来的，但理论是那么肯定少了几何，和计算更多的技术和算法少(澄清需要)张量是由monoidal 概念的手段范畴理论中广义类别，从20世纪60年代。

定义有几种方法来定义张量。

虽然看似不同，但各种方法只是使用不同的语言在不同的抽象层次来描述相同的几何概念。

多维数组如同一个标量是由一个单一的数字来表述，一个给定基准的矢量是由一维数组表述的，相应地，一个基准下的任意张量都由多维数组表述。

数组中的数字是张量中的标量部分或者其本身。

他们是由上标，下标以及张量名称的后缀所表示位置的指数来表示的。

每个部分的指数总和必须等于数组的维数，并称之为张量的行数或秩[注2]例如，一个2阶张量T 的条目将被记T ij ，其中i 和j 是从1到相关的向量空间的维数指标[注3]。

当改变向量空间进行基变换时，向量的元素也会随之改变。

与此相似，在类似的变换下，张量的阶数也将改变。

每一个张量都有相应的变换法则，通过变换法则可以得知张量的元素如何反映张量的基变换。

一个向量的元素可以通过两种不同的方法来反映基变换（见协方差矢量和逆变矢量），其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，其中R i j 是一个矩阵，在第二个表达式中求和符号被取消（爱因斯坦引入的方便的记数方法将在这篇文章中使用）。

行向量（或列向量）v 中的元素v i 通过矩阵R 的逆矩阵变换，这里的指数表示在新的基础上的组件。

而组件covector （或行向量），W 与矩阵R 本身变换。

ij j w R w ∧=张量元素的变换和矩阵各元素的变换相似。

如果向量的指数变换是基变换的逆变换，这种情况成为逆变，这里通常指的是上标指数，而指数只随着基变换的情形称为协变，这里的指数是下标指数。

逆变指数为m 的n 阶张量与m-n 协变指数之间的变换规律如下：11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n mi i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（） 这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。

定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即：对于基f=(e 1,...,e N )是如此，如果应用如下基变换多维阵列变成“协变”规律形式11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ]n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。

如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。

张量场在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。

事实上，这只是Ricci 早期的工作。

在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。

本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示，，定义如下坐标变换多线性映射有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。

尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。

一种方法是张量定义成多线性映射。

这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。

copiescopies :,n m T V V V V R **⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯→1424314243式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。

通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即：1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅⋅⋅⋅就可以得到n+m 维阵列。

选择不同的基底会产生不同的元素组成。

但是，由于T 的所有变元都是线性的，所以在多线性阵列定义中，T 的元素都满足“协变”规律。

根据这种定义，T 的多线性阵列元素就组成了一个张量。

更重要的是，这样的阵列可以用多线性映射T 的一些元素表示。

使用张量积在有些数学应用中，更抽象的方法有时候更适用。

这种更抽象的方法可以通过定义矢量空间张量积的元素来实现，反过来，向量空间的泛性质也就被定义了。

（n,m ）型的张量就可以用矢量空间张量积的形式定义了，即：n copies m copies T V V V V **∈⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗142431442443如果V 1是V 的基，W 1是W 的基，那么张量积V W ⊗自然就有了基底i j V W ⊗。

张量T 的元素是张量关于V 的基{e 1}和共轭基{ε1}的系数，即：1111n m m n i i j j j j i i T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗在使用张量积的特性中我们可以看到，这些元素满足（n,m ）型张量“协变”规律。

另外，张量积的泛性质使得这种定义下的张量和多线性映射定义的张量呈现一对一的对应关系。

运算张量可以进行多项基本运算，这些运算也可以产生张量。

张量的线性特性表明两个同类型的张量可以相加，张量也可以与标量相乘，其结果与矢量的标量化类似。

这些运算作用在张量元素上时，结果也只反应在元素上。

这些运算并不改变张量的类型，当然，也存在可以改变张量类型的运算。

升阶或降阶当矢量空间可以进行内积（或者是本文提到的矩阵），张量的运算定义为把高阶逆变指标转换成低阶的协变指标，反之亦然。

这种度量本身就是对称的（0,2）-张量，因此可以合并张量的高阶指标和度量的低阶指标。

和之前一样，这样就生成了一个新的张量，低阶指标取代了高阶指标。

这种运算就是降阶运算。

反过来，可以定义度量该运算的矩阵，该矩阵起到（2,0）张量的作用。

这种反度量可以把低阶指标转化成高阶指标。

应用连续介质力学连续介质力学提供了很重要的例子。

固体或流体力学中的应力用张量来表示。

应力张量和应变张量都是二阶张量，二者通过线性弹性材料中的四阶弹性张量联系起来。

详细一点来讲，固体力学中的三维应力张量中的元素都是3×3阵列。

固体中取有限体积元素，其中的三个面都受到给定力的作用。

力矢量的元素都含有三个数。

因此，可以用3×3或是9个元素来描述正方体有限体积元受到的应力。

固体边界内受到的是整个的应力（值不同），每一个应力需要9个量来描述。

所以，使用二阶张量就显得很有必要了。