保险精算例题第二章【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？（3）借款多长时间后需要还款1200元。
解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。
在单利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100（元）在复利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+i)²=1000×(1+5%)²=1102.5（元）（2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。
在单利下，还款总额为：1000×（1+ 139365×5%）=1019.04（元）在复利下，还款总额为：1000×139365%（1+5）=1018.75（元）（4）设借款t年后需要还款1200元。
在单利下，有1200=1000×（1+0.05t）可得：t=4（年）在复利下，有1200=1000×（1+0.05）t可得：t≈3.74（年）【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。
解：在单利下，有A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元)在复利下，有A(5)+1000×(1+5%)² ×(1+6%)³=13130.95(元)【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。
解：（1）1995年1月1日的现值为：1000×（1-0.05）³=857.38（元）（2）年利率为：i=d 1-d =0.050.95=0.053 【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1） 在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。
（2） 在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。
解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值为：14000×（11.06）2=12459.95（元） （3） 用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为：14000×（1-0.06）²=12370.4（元）6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率 m1 2 3 4 6 12 ∞ d (m) 0.05660 0.05743 0.05771 0.05785 0.05799 0.05813 0.05827【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有1000×（1.03）36=2898.28（元）故三个月后他欠款2898.28元。
【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。
（2）求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。
（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。
解：（1）实际利率为：i=（1+m i m )(）m —1 =（1+12%12）12—1=12.68%故实际利率为12.68%。
（2）实际贴现率为：d=1—（1—m d ）（m ）m=1—（1—10%4）4 =9.63%因此，实际贴现率为9.63%。
（3）由（1+i ）-1=1—d ，有（1+m i m )(）-m =（1—nd n ）（）n（1+12%12 ）-12=（1—2d 2）（）2 d 2）（=2×[1—（1+12%12）-6]=11.59% 【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。
那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次（21/7=7）。
这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：4000×（1+4%）7=5263.73（元）值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。
【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题：（1） 贷款额在2003年7月22日的价值。
（2） 年利率i 。
（3） 名义利率i 12）（解：（1）如果一致年利率i ，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000（1+i ）5。
有公式（2.20），利息力与利率有如下关系：e &=1+i从而4000×（1+i ）5=4000×e 0.7=8055.01（元）（2）由（1+i ）= e 0.14，的年利率为：i= e 0.14—1=0.15027（3）由（2.14a ）式和（2.20）式，有（1+12i 12）（）12=1+i = e 0.14i 12=12×（e 0.14/12—1）=0.14082【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为X ，有X=50000×1.0314—30000×1.0310—20000×1.034=12801.82（元）【例2.10】某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。
如果利率为5%，计算2004年1月1日其账户上的余额。
解：依题意X=8000×1.059+6000×1.057—12000×1.053=6961.73（元）【例2.11】某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。
如果年利率为7%，计算在2002年1月1日账户中的存款总额。
解： X=4000×1.076+6000×1.072+5000×1.07（-1）=17545.22（元）故在2002年1月1日，账户存款总额为17545.22元.【例2.12】某人1995年1月1日在其银行账户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额为7100元，计算实际利率。
解：2000（1+i ）5+3000（1+i ）2=7100由f （i ）=2000（1+i ）5+3000（1+i ）2—7100=0i=0.11+）（—71.11-22.1071.11×0.001=0.11153 【例2.13】某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是30年。
假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
解：设每年需要的还款额为X,根据题意，有由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有 200000=X 30aX=302000001iv -=13010.29（元）【例2.14】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。
解：X..15a =2000 X=..200015a =1520001d v - 由于d=i 1+i=0.0566 故X=194.27（元）【例2.15】某人在30岁时计划每年初存入300元建立个人账户，如果他60岁退休，存款年利率假设恒定为3%。
（1） 求退休时个人账户的累积额。
（2） 如果个人账户累积额在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。
解：（1）退休时个人账户累积额是30年定期的年金终值： 300..30s =X ..240a ..240a =2401d v -=24010.002466/1.002466(1/1.002466)-=181.7144X=81.03（元）【例2.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第9个月开始在5年中每月还款，利率为6%，求每月的还款额。
解：月利率j 为：（1+j ）12=1.06j=0.004868在第8个月，有X 60a =50000（1+j ）8 X=1001.0921（元）设每月可以领取到的数额为x 元，则有300..30s =12x ..(12)20a根据名义贴现率的计算公式，可得：d （12）=12[1-（1+i ）-1/12]=0.029522426..(12)20a =20(12)1v d -=15.11814259X=14700.801215.11814259⨯=81.03（元） 因而每月可以领取的年仅为81.03元。
【例2.18】某年金每年付款1次，连续付款10年，年利率为5%，年给付额为：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，计算t=0时这些付款的现值。
解：依题意，有现值=1009a +1009a ×v=1009a （1+v ）=1387.72（元）【例2.19】若存入银行10万元，建立一项永续奖励基金，从第一年后开始支取年金，设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。
解：设每年可以提取的最大数额为x ，则100000=x a ∞=x iX=4000（元）【例2.20】某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前1年增加100元，共收付10年。
若年利率为5%，求第10年末的年金总值。
解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金。
因此，第10年末的年金终值为： 90010s +10010Is （） =900×101(1)i i -++100×..1010i s -=17733.68（元）【例2.21】我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结合的方式，个人账户以个人缴费工资的8%计入。
如果某职工从20岁参加个人账户保险，当年工资为6000元，工资年增长为2%，个人账户的累积利率为4%。
求在他60岁退休时，个人账户的累积额。
解：个人账户在20岁时的现值为：6000×0.08×（1+1.02v+1.022v 2+…+1.0239v 39）=480×4011 1.02v v --（1.02）=13480.63（元）在60岁时的累积额为：13480.63×1.0440=64720.78（元）【例2.22】在例2.21中，如果个人账户累积利率在刚参加个人账户的前10年内为4%，退休前的10年内为4%，退休前的10年内为2%，中间20年为3%，求这时个人账户在退休时的累积额。