中考数学培优专题复习相似练习题及答案一、相似1.如图,在Rt△ABC中,,角平分线交BC于O,以OB为半径作⊙O.(1)判定直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由;(2)连接AO交⊙O于点E,其延长线交⊙O于点D,,求的值;(3)在(2)的条件下,设的半径为3,求AC的长.【答案】(1)解:AC是⊙O的切线理由:,,作于,是的角平分线,,AC是⊙O的切线(2)解:连接,是⊙O的直径,,即 ..又 (同角) ,∽ ,(3)解:设在和中,由三角函数定义有:得:解之得:即的长为【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长,即可证得AC与圆O相切;(2)先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形,再证得∠1=∠D,从而证得两个三角形ABE与ABD相似,即可求得两个线段长的比值;(3)也可以应用三角形相似的判定与性质解题,其中AB的长度是利用勾股定理与(2)中AE与AB的比值求得的.2.如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s,解答下列问题:(1)求证:△BEF∽△DCB;(2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,求t的值;(3)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?试说明理由.【答案】(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC,在中,∵别是的中点,∴EF∥AD,∴ EF∥BC,∴∴(2)解:如图1,过点Q作于,∴QM∥BE,∴∴∴(舍)或秒(3)解:当点Q在DF上时,如图2,∴∴ .当点Q在BF上时,,如图3,∴∴时,如图4,∴∴时,如图5,∴∴综上所述,t=1或3或或秒时,△PQF是等腰三角形【解析】【分析】(1)根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等,从而可证△BEF∽△DCB;(2)过点Q作QM⊥EF 于M ,先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽△BEF;再由△QM F ∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长;最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。
(3)由题意应分两种情况:(1)当点Q在DF上时,因为∠PFQ为钝角,所以只有PF = QF 。
(2)当点Q在BF上时,因为没有指明腰和底,所以有 PF=QF;PQ = FQ;PQ = PF 三种情况,因此所求的t值有四种结果。
3.如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s,解答下列问题:(1)求证:△BEF∽△DCB;(2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,求t的值;(3)如图2过点Q作QG⊥AB,垂足为G,当t为何值时,四边形EPQG为矩形,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?试说明理由.【答案】(1)解:∵四边形是矩形,在中,分别是的中点,(2)解:如图1,过点作于,(舍)或秒(3)解:四边形为矩形时,如图所示:解得:(4)解:当点在上时,如图2,当点在上时,如图3,时,如图4,时,如图5,综上所述,或或或秒时,是等腰三角形【解析】【分析】(1)要证△BEF∽△DCB,根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得证。
根据三角形中位线定理可得EF∥AD∥BC,可得一组内错角相等,由矩形的性质可得∠C=∠A=∠BEF=,所以△BEF∽△DCB;(2)过点Q 作QM⊥EF于M,结合已知易得QM∥BE,根据相似三角形的判定可得△QMF∽△BEF,则得比例式,QM可用含t的代数式表示,PF=4-t,所以三角形PQF的面积=QM PF=06,解方程可得t的值;(3)因为QG⊥AB,结合题意可得PQ AB,根据相似三角形的判定可得QPF BEF,于是可得比例式求解;(4)因为Q在对角线BD上运动,情况不唯一。
当点Q在DF上运动时,PF=QF;当点Q在BF上运动时,分三种情况:第一种情况;PF =QF ;第二种情况:PQ=PF;第三种情况:PQ=FQ。
4.如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC.延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E.(1)求证:△ABE≌△CDE;(2)填空:①当∠ABC的度数为________时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6,BE=8,则EF的长为________.【答案】(1)证明:∵AB=AC,CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD.∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD=∠BAE,∠CED=∠ABC.∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,∴∠CED=∠AEB,∴△ABE≌△CDE(AAS)(2)60;【解析】【解答】解:(2)①当∠ABC的度数为60°时,四边形AOCE是菱形;理由是:连接AO、OC.∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°.∵∠ABC=60,∴∠AEC=120°=∠AOC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°.∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.∵∠ACB=∠CAD+∠D.∵AC=CD,∴∠CAD=∠D=30°,∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°,∴∠OAE=∠OCE=60°,∴四边形AOCE是平行四边形.∵OA=OC,∴▱AOCE是菱形;②由(1)得:△ABE≌△CDE,∴BE=DE=8,AE=CE=6,∴∠D=∠EBC.∵∠CED=∠ABC=∠ACB,∴△ECD∽△CFB,∴ = .∵∠AFE=∠BFC,∠AEB=∠FCB,∴△AEF∽△BCF,∴ = ,∴EF= =.故答案为:①60°;② .【分析】(1)由题意易证∠ABC=∠ACB,AB=CD;再由四点共圆和已证可得∠ABC=∠ACB=∠AEB,∠CED=∠AEB,则利用AAS可证得结论;(2)①连接AO、CO.宪政△ABC是等边三角形,再证明四边形AOCE是平行四边形,又AO=CO可得结论;②先证△ECD∽△CFB,可得EC:ED=CF:BC=6:8;再证△AEF∽△BCF,则AE:EF=BC:CF,从而求出EF.5.已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A(1,0)和点B(5,0),顶点为M.点C在x轴的负半轴上,且AC=AB,点D的坐标为(0,3),直线l经过点C、D.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是直线l在第三象限上的点,联结AP,且线段CP是线段CA、CB的比例中项,求tan∠CPA的值;(3)在(2)的条件下,联结AM、BM,在直线PM上是否存在点E,使得∠AEM=∠AMB.若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(5,0),∴ ,解得∴抛物线的解析式为(2)解:∵ A(1,0),B(5,0),∴ OA=1,AB=4.∵ AC=AB且点C在点A的左侧,∴ AC=4 .∴ CB=CA+AB=8.∵线段CP是线段CA、CB的比例中项,∴ .∴ CP= .又∵∠PCB是公共角,∴△CPA∽△CBP .∴∠CPA= ∠CBP.过P作PH⊥x轴于H.∵ OC=OD=3,∠DOC=90°,∴∠DCO=45°.∴∠PCH=45°∴ PH=CH=CP =4,∴ H(-7,0),BH=12,∴ P(-7,-4),∴,tan∠CPA= .(3)解:∵抛物线的顶点是M(3,-4),又∵ P(-7,-4),∴ PM∥x轴 .当点E在M左侧,则∠BAM=∠AME.∵∠AEM=∠AMB,∴△AEM∽△BMA.∴ ,∴ .∴ ME=5,∴ E(-2,-4).过点A作AN⊥PM于点N,则N(1,-4).当点E在M右侧时,记为点,∵∠A N=∠AEN,∴点与E 关于直线AN对称,则(4,-4).综上所述,E的坐标为(-2,-4)或(4,-4).【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解。
即;由题意把A(1,0),B(5,0),代入解析式可得关于a、b的方程组,a + b + 5 = 0 ,25 a + 5 b + 5 = 0 ,解得a=1、b=-6,所以抛物线的解析式为 y =− 6 x + 5;(2)过P作PH⊥x轴于H.由题意可得OA=1,AB=4.而AC=AB且点C在点A的左侧,所以AC=4 ,则CB=CA+AB=8,已知线段CP是线段CA、CB的比例中项,所以,解得CP=4,因为∠PCB是公共角,所以根据相似三角形的判定可得△CPA∽△CBP ,所以∠CPA= ∠CBP;因为OC=OD=3,∠DOC=90°,∠DCO=45°.所以∠PCH=45°,在直角三角形PCH中,PH=CH=CP sin 45 ∘=4,所以H(-7,0),BH=12,则P(-7,-4),在直角三角形PBH中,tan ∠ CBP ==tan∠CPA;(3)将(1)中的解析式配成顶点式得y=-4,所以抛物线的顶点是M(3,-4),而P点的纵坐标也为-4,所以PM∥x轴.分两种情况讨论:当点E在M左侧,则∠BAM=∠AME,而∠AEM=∠AMB,根据相似三角形的判定可得△AEM∽△BMA,所以可得比例式,即,解得ME=5,所以E(-2,-4);当点E在M右侧时,记为点E ′ ,过点A作AN⊥PM于点N,则N(1,-4),因为∠A E ′ N=∠AEN,所以根据轴对称的意义可得点E ′ 与E 关于直线AN对称,则(4,-4).6.如图,Rt△AOB在平面直角坐标系中,已知:B(0,),点A在x轴的正半轴上,OA=3,∠BAD=30°,将△AOB沿AB翻折,点O到点C的位置,连接CB并延长交x轴于点D.(1)求点D的坐标;(2)动点P从点D出发,以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动,当△PAB为直角三角形时,求t的值;(3)在(2)的条件下,当△PAB为以∠PBA为直角的直角三角形时,在y轴上是否存在一点Q使△PBQ为等腰三角形?如果存在,请直接写出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵B(0,),∴OB= .∵OA= OB,∴OA=3,∴AC=3.∵∠BAD=30°,∴∠OAC=60°.∵∠ACD=90°,∴∠ODB=30°,∴ = ,∴OD=3,∴D(﹣3,0);(2)解:∵OA=3,OD=3,∴A(3,0),AD=6,∴AB=2 ,当∠PBA=90°时.∵PD=2t,∴OP=3﹣2t.∵△OBA∽△OPB,∴OB2=OP•OA,∴3﹣2t= =1,解得t=1,当∠APB=90°时,则P与O重合,∴t= ;(3)解:存在.①当BP为腰的等腰三角形.∵OP=1,∴BP= =2,∴Q1(0, +2),Q3(0. ﹣2);②当PQ2=Q2B时,设PQ2=Q2B=a,在Rt△OPQ2中,12+(﹣x)2=x2,解得x= ,∴Q2(0,);③当PB=PQ4时,Q4(0,﹣)综上所述:满足条件的点Q的坐标为Q1(0, +2),Q2(0,),Q3(0. ﹣2),Q4(0,﹣).【解析】【分析】(1)根据已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度数,进而求得∠ADC,即可求得D的坐标;(2)根据直角三角形的判定,分两种情况讨论求得;(3)求得PB 的长,分四种情形讨论即可解决问题.7.定义:如图,若点D在的边AB上,且满足,则称满足这样条件的点为的“理想点”(1)如图,若点D是的边AB的中点,,,试判断点D是不是的“理想点”,并说明理由;(2)如图,在中,,,,若点D是的“理想点”,求CD的长;(3)如图,已知平面直角坐标系中,点,,C为x轴正半轴上一点,且满足,在y轴上是否存在一点D,使点A,B,C,D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点” 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:结论:点D是的“理想点”.理由:如图中,是AB中点,,,,,,,,∽,,点D是的“理想点”,(2)解:如图中,点D是的“理想点”,或,当时,,,,当时,同法证明:,在中,,,,,,.(3)解:如图中,存在有三种情形:过点A作交CB的延长线于M,作轴于H.,,,,,,,≌,,,设,,,,,,,,,,解得或舍弃,经检验是分式方程的解,,,①当时,点A是的“理想点” 设,,,∽,,,解得,.②当时,点A是的“理想点”.易知:,,.③当时,点B是的“理想点”.易知:,,.综上所述,满足条件的点D坐标为或或 .【解析】【分析】(1)结论:点D是的“理想点” 只要证明∽即可解决问题;(2)只要证明即可解决问题;(3)如图中,存在有三种情形:过点A作交CB的延长线于M,作轴于构造全等三角形,利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标,分三种情形求解即可解决问题;8.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于 AD长为半径做弧,交于点B,AB∥CD.(1)求证:四边形ACDB为△CFE的亲密菱形;(2)求四边形ACDB的面积.【答案】(1)证明:由已知得:AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得:BC是∠FCE的角平分线,∴∠ACB=∠DCB,又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB,又∵AC=CD,AB=DB,∴AC=CD=DB=BA,四边形ACDB是菱形,又∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合,它的对角∠ABD顶点在EF上,∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.(2)解:设菱形ACDB的边长为x,∵CF=6,CE=12,∴FA=6-x,又∵AB∥CE,∴△FAB∽△FCE,∴ ,即,解得:x=4,过点A作AH⊥CD于点H,在Rt△ACH中,∠ACH=45°,∴sin∠ACH= ,∴AH=4× =2 ,∴四边形ACDB的面积为: .【解析】【分析】(1)依题可得:AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的角平分线,根据角平分线的定义和平行线的性质得∠ACB=∠ABC,根据等角对等边得AC=AB,从而得AC=CD=DB=BA,根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形ACDB是菱形;再根据题中的新定义即可得证.(2)设菱形ACDB的边长为x,根据已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x,根据相似三角形的判定和性质可得,解得:x=4,过点A作AH⊥CD于点H,在Rt△ACH中,根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH ,再由四边形的面积公式即可得答案.9.已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴,y轴于A,C两点。