RX
(
)
N0 2
( )
Y (t)
h(t )
相
关
器
RXY ( )
4．物理可实现(因果)系统的响应
物理可实现系统的条件：
h(t ) 0, t 0
将该条件代入上述关系式，可得
因果性
E[Y (t)] mX h( )d mX H(0)
0
RY ( ) 0 0 h( )h( )RX ( )dd
Y (t ) h( )X (t )d
▪频域表示：
∵ 随机过程X(t)是无限时宽，无限能量，非周期的, ∴ X(t) 的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在， 故不能用频谱表述。
但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率
谱来描述。
平稳随机过程通过线性时不变系统：
平稳条件：
E[X (t)] = 常数；
RXY ( ) 0 RX ( )h( )d
注意：卷积关系不再成立。
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程
h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过 程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结 论？
一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析
1．系统输出Y(t)的均值:
Y (t ) h( )X (t )d
E[Y (t)] mX h( )d mX H(0) ，其中 h( )d H(0)
线性时不变系统 h(t) ：
时域表示：
非因果系统： y(t,i ) h( )x(t ,i )d
因果系统： y(t,i ) h( )x(t ,i )d
0
即，系统输出 y(t,i ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。
其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t, ) 都是有界的，才有
RXY ( ) RX ( ) h( ) 同理可证，
RYX ( ) RX ( ) h( ) RX ( ) h( )
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
当X(t)为白噪声，即 RX ( ) (N0 / 2) (t) 时，则
随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。
其原因是：
1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为
随机过程（信号）是随时间或依时序组成的每个时间点上
的随机变量的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函
数值都是一个随机变量。即便通过一个具体的实验所得到
的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本x(t函,数i )
，
它也无法表征整个随机过程的行为 。
2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个
端口的输出，各时间点上随机变量的取值往往具有前后的
波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波
及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。
针对随机信号所具有的随机性和波及性，可 用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：
h( )[h(
)
RX

3. 系统输入与输出之间的互相关函数:
RXY (t, t ) E[ X (t )Y (t )] E[ X (t )_h( )X (t )d ]
E[
X
(
t
)
X
(t
)]h( )d
R X
(
)]h( )d
1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的特 征，可用一维统计特性来描述：
函数值的概率密度、均值、方差等； 2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维统 计特性来描述：
函数值的多维概率密度、相关函数等。
随机过程通过线性时不变系统的表示
随机过程的一个样本 x(t,i ) , 若 x(t,i )是有界的，则对于
Y () H()X () 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ()
y(t) x(t) h(t)
Y() X ()H()
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd RY ( )
➢ 输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时间起点 t 无关。
第五章 随机过程通过线性系统
确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。 例如：
x(t)
h(t)
y(t )
确知信号x(t), 线性时不变系统h(t)：
时域：
非因果系统： y(t ) h( )x(t )d
因果系统： y(t) h( )x(t )d
0
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
➢ 该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得 RXY ( ) ， 则可用功率谱密度为 N0 / 2 的白噪声激励线性系统来估计 该线性系统的冲击响应。
X(t)
由 E[Y(t)] ≡常数和 RY(τ) 可知： 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。
且有：
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
RY ( ) h( )h( )RX ( )dd
h( )[
h(
)RX
(
)d ]d
RX (t1 , t2 ) Ex(t1 )x(t2 ) RX ( ), t2 t1
E X 2 (t )
由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积， 故其存在Z变换，或付氏变换。
物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。
由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在频谱，但可用功率谱描述。