B = ( bij ) = (i , j ) = CTAC .
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
(10)
根据条件
对非零向量 ，即
0 0 X , 0
有 ( , ) = XTAX > 0 .
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线 性空间 V 的一组基 1 , 2 , … , n . 可以规定内积，
2. 性质 性质 1
证明
设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |. (3)
| k | (k , k )
k ( , )
2
| k || | .
性质 2
柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则 | ( , ) | | | | |， 当且仅当 , 线性相关时，等号才成立. (4)
在欧几里得空间中同样有勾股定理，即当 ,
正交时， | + |2 = | |2 + | |2 . 事实上， | + |2 = ( + , + ) = ( , ) +2( , ) +( , ) = | |2 + | |2 .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如
使它成为欧几里得空间，并且基 1 , 2 , … , n 的度
量矩阵为 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下
显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为
欧氏空间.
五、举例
例1
在欧氏空间 Rn 中计算下列向量的内积，
并求它们之间的夹角.
(1) (1,1,1,1) , (1,2,4,3) ; 1 1 1 (2) ( ,1, , ) , (3,1,2,2) ; 2 3 6 (3) (3,1,1,1) , (2,2,2,2) ; (4) (1,1,1,2,1) , (3,1,1,0,1) .
所以
|+|||+||.
3. 正交
定义 4
如果向量 , 的内积为零，即 ( , ) = 0，
那么 , 称为
正交或互相垂直，记为 .
两个非零向量正交的充分必要
显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交 的说法是一致的.
条件是它们的夹角为
π . 2
由定义立即看出，只有零向量才与自已正交.
2. 三角不等式
根据柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，我们有三角
形不等式
|+|||+||. 因为 (6)
| + |2 = ( + , + )
= ( , ) +2( , ) +( , ) | |2 +2 | | | | + | |2
= (| | + | |)2 .
= x11 + x22 + … + xnn ,
= y11 + y22 + … + ynn ,
由内积的性质得 ( , ) =(x11+x22+…+xnn , y11+y22+…+ynn )
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij = (i , j ) 显然 aij = aji . ( i , j = 1 , 2 , …, n ) , (7)
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0 或者
( , ) 0, ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
对于 是 中的欧几里得空间 Rn ， 式就
| a1b1 a2b2 anbn |
2 2 a12 a2 an b12 b22 bn2 .
( , ) t . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , ) 0, ( , )
2
即 ( , )2 ( , ) ( , ) . 两边开方便得 | ( , ) | | | | | . 当 , 线性相关时，等号显然成立. 反过来，如
证明
设 0.
当 = 0 时，(4) 式显然成立. 令 t 是一个实变数，作向量
以下
=+t.
由 可知，不论 t 取何值，一定有
( , ) = ( + t , + t ) 0. 即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0. 取 (5)
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例1
定义内积
在线性空间 Rn 中，对于向量
= (a 1 , a 2 , … , a n ) , = ( b 1 , b 2 , … , b n ) ,
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn 就成为一个欧几里得空间.
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
(8)
利用矩阵，( , ) 还可以写成
( , ) = XTAY ，
其中
(9)
x1 y1 x2 y2 X , y x y n n
1 | |
是一个单位向量.

用向量 的长度去除向量 ，
得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把

单位化.
三、夹角
1. 夹角的定义 定义 3
为 非零向量 , 的夹角 < , > 规定
( , ) , arccos , 0 , π . | || |
2 ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )； 3 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , ) = ( , ) + ( , ) .
由条件
量，
有 ( , ) 0 .
a
b
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
3. 欧几里得空间的性质
下面来看欧几里得空间的一些基本性质. 首先，定义中条件 因此，与 相当地就有 表明内积是对称的.
第一节
定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为
线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型， 那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式.
例2
积
在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
( f , g ) f ( x) g ( x)dx .
的地位，因此有必要引入度量的概念.
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1
设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
V 上定义了一个二元实函数，称为 ( , )，它具有以下性质： 1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )；
单击这里开始
例2
在 4 维欧氏空间中，设基
1 (1,1,1,1) , 2 (1,1,1,0) , 3 (1,1,1,1) , 4 (1,0,0,1)
的度量矩阵为
2 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 . 1 2
对于 式就是
中的欧几里得空间 C(a , b) ，

b
a
2 f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx . a a b 2 b
1 2
1 2
4. 单位向量
长度为 1 的向量称为
单位向量.
知，向量
如果 0，
则由
| k | = | k | | |
(1) 求基
1 (1,0,0,0) , 2 (0,1,0,0) , 3 (0,0,1,0) , 4 (0,0,0,1)
的度量矩阵；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2) 求向量
1 (1,1,1,1) , 2 (0,1,1,0)
的内积.
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