曲线积分的计算
摘要：曲线积分是定积分的推广，曲线积分的积分区域是平面的或空间的曲线，是某种和式的极限。
从计算方法讲，曲线积分要化为定积分来计算。
曲线积分分为第Ⅰ型、第Ⅱ型，重点放在第Ⅱ型上。
关键词：对弧长曲线积分 对坐标曲线积分 定积分 对称性 格林公式 积分与路径无关 斯托克斯公式
前言：第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单。
而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x 轴，y 轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用。
对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同。
为了使计算更为简单，本文阐述了曲线积分的计算方法。
一、基本方法
1、曲线积分【第一类 ( 对弧长 )、第二类 ( 对坐标 ) 】→ （转化）定积分
（1） 选择积分变量
Ⅰ.用参数方程
Ⅱ.用直角坐标方程
Ⅲ.用极坐标方程
(2) 确定积分上下限
Ⅰ.第一类: 下小上大
Ⅱ.第二类: 下始上终
2、对弧长曲线积分的计算 (1)设f （x ，y ）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为{
（α≥t ≤β），其中φ（t ）、ψ（t ）在[α,β] 上具有一阶连续导数且ds y x f L ⎰),(=dt t t t t f ⎰+βα
ψϕψϕ)(')(')](),([22(α<β) 注意：
(1)定积分的下限α一定要小于上限β。
(2)f(x,y)中x,y 不彼此独立，而是相互有关的。
特殊情形
(1) L:y=)(x ψ a b x ≤≤
ds y x f L ⎰
),(=dx x x x f b a ⎰+)('1)](,[2ψψ (2)L:x=)(y ϕ c d y ≤≤ ds y x f L ⎰),(=y y f d
c ⎰),([ϕ例1求I=⎰L xyds ,L:椭圆
解：I=22
/02)cos ()sin (sin cos ⎰+-πt b t a t tb a dt
x=φ(t) y=ψ(t)
=ab ⎰
+2/02222cos sin sin cos πt b t a t t dt =22b a ab
-du u a b ⎰2(令u=t b t a 2222cos sin +)
=)
(3)(22b a ab b a ab +++ 例2求I=⎰L
yds ，其中L:x y 42=，从（1,2）到（1，-2）一段 解： I=dy y y 22
2)2(1⎰-+=0 例3求I=⎰L
xyzds ，L ：x=acos θ，y=asin θ，z=k θ的一段（0πθ2≤≤） 解： I=θθθθπ
d k a k a ⎰+20222sin cos =-2222
1k a ka +π 3、对坐标的曲线积分的计算 设P(x,y),Q(x,y)在在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为{ 当参数t 单调地由α变到β时点M （x ，y ）从L 的起点A 运动到终点B ，)(),(t t ψϕ在以α，β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(22≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(存在，且
⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=dt t t t Q t t t P })(')](),([)(')](),([{⎰+β
αψψϕϕψϕ 特殊情形
(1)L:y=y （x ） x 起点为a ，终点为b ，则
⎰+L Qdy Pdx =dx x y x y x Q x y x P b a
})(')](,[)](,[{⎰+ (2) L:x=x （y ） y 起点为c ，终点为d,则 ⎰+L Qdy Pdx =dy y x x Q y x y x x P d c
})](,[)(')](,[{⎰+ 例4计算⎰+-L
xdy dx y a )2(，其中L 为摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)上对应t 从0到2π的一段弧
解：原式=⎰π
20
2sin tdt t a =)sin cos (2t t t a --|π20=-22a π 二、基本技巧
（1） 利用对称性简化计算
（2） 利用积分与路径无关的等价条件
x=φ(t) y=ψ(t)
（3） 利用格林公式（注意加辅助线的技巧）
（4） 利用斯托克斯公式
例1求I=⎰L ds x 2，L 为圆周{
解：由对称性，知⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L
ds z 2 故I=31⎰++L ds z y x 2
22=31⎰L ds a 2=323a π 例2计算⎰-+-L dy x y dx y x )()(22，其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、a 为
半径的上半圆周。
解法一：令P=y x -2，Q=x y -2，则 y P ∂∂=-1=x
Q ∂∂，说明积分与路径无关，故 I=⎰-+-AB dy x y dx y x )()(22=dx x a a ⎰-2=-33
2a 解法二：添加辅助线段BA ,它与L 所围区域为D ，则
I=dy x y dx y x )()(22-+-⎰-⎰-+-BA dy x y dx y x )()(22=⎰⎰D dxdy 0-dx x a a ⎰-2=-33
2a 例3计算⎰-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，其中L 为上半圆周
222)(a y a x =+-，y 0≥，沿逆时针方向 解：用格林公式
I=dy e dx y y e x x )2()2sin (-+-⎰-⎰-+-AB
x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin ( =⎰⎰D
dxdy 2+0=2a π 例4计算xdz zdy dx y ++⎰，其中L 为平面x+y+z=0被三个坐标面所截成的平面 解法一：（利用对称性）
原式=⎰AB xdz =3⎰-10)1(dz z =2
3 解法二：（利用斯托克斯公式）
设三角形区域为∑，方向向上，则
原式=-31
⎰⎰∑-ds )3(=3dxdy xy D ⎰⎰3=2
3 参考文献：华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.6
0=++z y x
0=++z y x。